不定积分的换元积分法(II)

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1、5.3不定积分的换元积分法5.3.1第一类换元法5.3.2第二类换元法1设所求的不定积分可以写成或　　　　　　的形式，则引入新变量　，令　　　　．上面的不定积分就化为．如果　　，　　和　　都是连续函数，并且容易求得　　的一个原函数　　，5.3.1第一类换元法2利用复合函数求导公式，可以验证(4.3.1)的正确性．于是．(4.3.1)，则3可知公式(4.3.1)成立．利用公式(4.3.1)来计算不定积分，就是第一换元法，亦称为凑微分法．实际上，由，4在凑微分时，常用到下列微分式子，熟悉它们有助于求不定积分．56练习:填空题78再将　　　代入，得．解设　　　，则　　　　，即　　　　．例1

2、求　　　　　．所以，9例2求　　　　　　．解被积函数可以写成　　　　，设　　　　，则　　　　，即　　　　　因此10注意：在对变量替换比较熟练后，可以不必写出新设的积分变量，而直接凑微分．例如：例1；11例3求例2．解．12例4求　　　　　　　　　．解．用类似的方法还可以求得．13例5求　　　　．解由于　　　　　　　，所以．14例6求解．15解因为，而．所以．例7求　　　　．类似地，可以得到．16解法1例8求17解法2注意：本题利用不同解法所得到的结果在形式上有所不同．但不难验证，它们仅相差一个常数．18解因为　　　　　　　　　　　，所以例9求　　　　　　．19．类似可得．20例10求

3、　　　　．解(利用例9的结果)类似地，有．21应用第一类换元法的常见的积分类型如下：1.；2.；3.；224.；5.；6.，．23练习12425练习226272829305.3.2第二类换元法如果不定积分　　　　不易直接应用基本积分表计算，也可以引入新变量　，并选择代换　　　　，其中　　可导，且　　连续，将不定积分　　　　化为31如果容易求得　　　　　　　　　　　，而　　　　的反函数　　　　　存在且可导，则，，再将　　　　代入上面的　　，回到原积分变量，有，(4.3.2)这类求不定积分的方法，称为第二换元法．32例11求　　　　　．解设　　　　，则　　　　，　　　　．．应注意，在最后

4、的结果中必须代入，返回到原积分变量　．33例12求　　　　　　　　　．解设　　　　　　　　　　，则，　　　　　．所以34．由　　　　，所以　　　　　．于是因此，所求不定积分．35．利用本节例10的结果，得例13求　　　　　　　　．解设　　　　　　　　　，则，　　　　　．所以为了返回原积分变量，可由　　　　作出辅助三角形．．36所以，其中.，37例14求解设　　　　　，则　　　　，，　　　　　．于是38．39第二类换元法常常用于被积函数中含有根式的情形，常用的变量替换如下：1.被积函数为　　　　　，则令　　　，其中　为　，　的最小公倍数．2.被积函数为　　　　　，则令．404.被积函数

5、为　　　　　　，则令　　　　．3.被积函数为　　　　　　，则令　　　　　．5.被积函数为　　　　　，则令．41(1).(2).(3)．本节一些例题的结果，可以当做公式使用．将这些常用的积分公式列举如下：42(5).(6)．(4)．43(9)．(8)．(7)．44练习245