不定积分的换元积分法(1)

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1、第四节不定积分的换元积分法不定积分时若凑微分法、分部法均解决不了问题,且被积函数中含有复杂的量(如:、、等),则可以考虑使用换元积分法.一、换元积分法例6.4.1求不定积分.解这里主要障碍是“”,不妨令此时这样把复杂的量“”换元成最简单的变量“”则.例6.4.2求不定积分.解同样令主要障碍,此时则.例6.4.3求不定积分.解令,此时,则.例6.4.4求不定积分.解令,此时,则.从以上例题可见,换元可使复杂积分变得简单,可关键是怎么换.二、换元积分举例例6.4.5用换元法求下列不定积分:(1);(2);

2、(3);(4);(5);(6).解(1)==;(2)=;(3)=;(4)=;(5)=;(6).可见前边例子中直接令“”或其它复杂的量“”也就行了.可若“”下含有“”项,问题就不是那么简单了.例6.4.6利用三角公式()换元,求积分.解.例6.4.7利用三角公式()换元,求积分.解.例6.4.8利用三角公式()换元,求积分.解.例6.4.9求下列不定积分:(1);(2);(3).解(1)=;(2)查《积分表》(见文献文献×)=;(3);此题还可以用另一个很简单的解法:;可见换元积分法不是一个很好的方法,

3、凑微分法、分部法均解决不了,再考虑用它.思考题6.41.本节介绍的换元积分法中,换元的根本目的是什么?应注意什么问题?2.总结一下利用三角公式换元积分法(三角代换法)的三种类型.3.思考凑微分法、分部法及换元法三种积分方法的优先次序,如何选用?练习题6.41.用换元法求下列不定积分:(1);(2);(3).2.利用三角代换求下列不定积分:(1);(2);(3).练习题6.4答案1.解(1)=;(2)==;(3)=.2.解(1)=;(2);(3).

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