不定积分的换元积分法(VIII)

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1、第二节不定积分的换元积分法一、不定积分的第一类换元法二、不定积分的第二类换元法三、基本积分表(2)问题解决方法利用一阶微分形式不变性.解一、第一类换元法?在一般情况下：设则如果（可微）由此可得换元法定理定理1设f(u)具有原函数F(u),u=(x)有连续导数,则有换元公式：不定积分的第一类换元法——凑微分法.说明使用此公式的关键在于将化为例1求下列不定积分一般地例1(1)求解(2)求解4)解5)解例求解法1解法2解法3观察重点不同，所得结论形式可能不同.例2求解同理可得(使用了三角函数恒等变形)例3求解例4求解例51)求例51)求解例52)求解例61)求2)求思考：求不定积分例61)求解例

2、62)求解求例7(1)求(2)求例7(1)求解(2)求解例8求下列不定积分1)例83)求解例83)求解例9求原式解例10求解(使用三角函数恒等变形)例11求下列不定积分例11(1)求解(2)求解例11(3)求解例12求解例13求解说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.例14(1)求类似地可推出(2)求例13(1)求解类似地可推出例13(2)求解（使用了三角函数恒等变形）小结:第一类换元积分(凑微分)是把被积函数中的某个函数看做一个新变量.凑微分法常见类型:练习：求下列不定积分解解解解解解问题解决方法改变中间变量的设置方法.过程令(应用“凑微分”即可求出结果)二、不定积分的第二类

3、换元法定理2设x=(t)是单调可导函数,且(t)0连续,则有换元公式：不定积分的第二类换元法.证设为的原函数,令则说明F(x)为f(x)的原函数,例1求解例求解令例2求解例3求解例4解说明(1)以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令说明(2)积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.例5求（三角代换很繁琐）令解例6求解令说明(3)当被积函数含有两种或两种以上的根式时，可采用令(其中n为各根指数的最小公倍数).例7求解令说明(4)当分母的阶较高时,可采用倒代换例8求令解说明(5)积分中为了化

4、掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换.也可以化掉根式.例中,令三、基本积分表(2)P182四、小结1.两类积分换元法：(一)凑微分(二)三角代换、根式代换2.基本积分表(2)第一类换元积分是把被积函数中的某个函数看做一个新变量.第二类换元积分是把积分变量看做一个函数.思考题求积分思考题解答练习题练习题答案