空间直线方程的拟合

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1、空间直线方程的拟合霍晓程(株洲职业技术学院,湖南株洲412001)摘要:探讨用最小二乘法解决空间直线方程的拟合问题1先拟合三个直角坐标系中的投影直线,再通过投影直线求出空间直线方程,并对拟合出来的三个不同的直线方程进行比较,选择最佳拟合方案1关键词:最小二乘法;中图分类号:O24112拟合;空间直线文献标识码:A文章编号:1671-9743(2009)02-0016-04自然界中常见的光束是以射线方式传播的,计算机应用领域中图形图像也是许多光束投影的结果,射线是直线的一部分1-31如何测量并计算光束所在的直线方程呢?光束有粗

2、细之分,测量出来的数据点肯定有误差,那么如何拟合空间直线方程呢3?下面笔者用最小二乘法来拟合空间直线方程11最小二乘法拟合空间直线方程问题1计算数学中讲到的直线拟合,主要是用最小二乘法拟合平面上的直线方程4-5,拟合出来的方程为y=a+bx,但空间中的直线方程形式为x-x0y-y0z-z0=,该怎样拟合它呢?=ABC若将空间直线方程转化为平面直线方程,这种拟合就容易多了1一般情况下,空间直线在三个坐标系XOY、XOZ、YOZ中的投影也都是直线,所以可以先将它的投影拟合成直线,只要拟合出两条投影直线就可以求出空间直线方程,因为

3、平面直角坐标系中的直线方程也是空间直角坐标系中的平面方程,两个平面的交线就是我们要求的空间直线1对于给定的点(xi,yi,zi)(i=1,2,,n),其在坐标系XOZ和YOZ的投影为(xi,zi)、(yi,zi),先在坐标系XOZ和YOZ中拟合这两条直线za1+b1x,z=a2+b2x,显然这两条直线是空间直线在坐标系XOZ和YOZ=中的投影[4],因z=a+bx,z=a+bx在坐标系O-XYZ中是两个特殊的平面方程,这两个平面的交线就1122是我们要求的空间直线方程1在坐标系XOZ中,通过最小二乘法可以将投影点(xi,zi

4、)(i=1,2,,n)拟合成如下方程:nnnn∑zi∑xi2-∑xi∑xizii=1i=1i=1i=1a1=nnnnna1+b1∑xi=∑zin∑xi2-(∑xi)2i=1i=1i=1i=1得nnnnnna1∑xi+b1∑xi2=∑xizin∑xizi∑xi∑zi-i=1i=1i=1i=1i=1i=1b1=nnn∑x2-(∑x)2iii=1ni=1nnnnnn∑zi∑xi2-∑xi∑xizin∑xizi-∑xi∑zii=1i=1i=1i=1i=1i=1i=1+x直线方程:z=nnnnn∑x2-(∑x)2n∑x2-(∑x)2i

5、iiii=1i=1i=1i=1收稿日期:2009-01-16作者简介:霍晓程(1972-),男,湖南武冈人,株洲职业技术学院讲师,硕士生,主要研究计算数学1·17·第28卷第2期霍晓程:空间直线方程的拟合同理在坐标系YOZ中拟合的直线方程为:nnnnnnn∑zi∑yi2-∑yi∑yizin∑yizi-∑yi∑zii=1i=1i=1i=1i=1i=1i=1z=+ynnnnn∑y2-(∑y)2n∑y2-(∑y)2iiiii=1i=1i=1i=1所以对于给定的点(xi,yi,zi)(i=1,2,3,,n),拟合出来的空间直线方程为

6、:nnnnnnn∑zi∑xi2-∑xi∑xizin∑xizi-∑xi∑zii=1i=1i=1i=1i=1i=1i=1z=+xnnnnn∑xi2-(∑xi)2n∑xi2-(∑xi)2i=1i=1i=1i=1(3)nnnnnnn∑zi∑yi2-∑yi∑yizin∑yizi-∑yi∑zii=1i=1i=1i=1i=1i=1i=1z=+ynnnnn∑y2-(∑y)2n∑y2-(∑y)2iiiii=1i=1i=1i=1方程的唯一性讨论2问题2通过在直角坐标系XOZ、YOZ中拟合其投影直线分别为z=a1+b1x,z=a2+b2x,再计算

7、出来==na1+a2+nzzb1xb2y的空间直线方程在坐标系XOY上的投影是否为直接在坐标系XOY拟合出来的方程:nnnnn2∑yi∑xi∑xi∑xiyin∑xiyi-∑xi∑yi-i=1i=1i=1i=1i=1i=1i=1x呢?y=+nnnnn∑x2-(∑x)2n∑x2-(∑x)2iiiii=1z=z=i=1i=1i=1a1+a2+nb1xb2yna1-a2b1x,如果这两条直线相吻合的话,则必有由得y=+b2b2nn2∑∑∑∑yixi-xixiyia1-a2i=1i=1i=1i=1=nnb2nnnnn∑x2(∑x)2-

8、∑i∑i2x∑i∑iiy-xxyiia-ai=1i=112i=1i=1i=1i=1两式相除得=nnnb1nnnn∑xiyi∑xi∑yi-n∑xiyi-∑xi∑yib1i=1i=1i=1i=1i=1i=1=nnb2n∑xi2-(∑xi)2i=1i=1nnnnnnn即(a1-a2)n∑xiyi