空间直线及其方程(II)

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1、第六节空间直线及其方程教学内容1空间直线的一般方程；2空间直线的对称式方程与参数方程；3两直线的夹角；4直线与平面的夹角；本节考研要求掌握直线方程的求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题，会求点到直线与点到平面的距离。1第八章第六节定义空间直线可看成两平面的交线．空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程2第八章第六节1、方向向量的定义：如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量．//二、空间直线的对称式方程与参数方程直线的对称式方程3第八章第六节令直线的一组方向数方向向量的余弦称为直线的方向余弦.说明:某些分母为零时,其分子也理解

2、为零.直线方程为例如,当4第八章第六节3.参数式方程设得参数式方程:5第八章第六节例1.用对称式及参数式表示直线解:1、先在直线上找一点.(怎么找？)令x=1,解方程组,得是直线上一点.6第八章第六节2、再求直线的方向向量已知直线的两平面的法向量为:故所给直线的对称式方程为7第八章第六节参数式方程为解题思路:先找直线上一点;再找直线的方向向量.8第八章第六节解所以交点为取所求直线方程——两点式方程。注：9第八章第六节解先作过点M且与已知直线L垂直的平面再求已知直线与该平面的交点N,LMN代入平面方程，得交点取方向向量所求直线方程为10第八章第六节另解LM

3、'L再求过M与L的：11第八章第六节^两直线的方向向量的夹角（锐角）称为两直线的夹角.——两直线的夹角公式。三、两直线的夹角12第八章第六节两直线的位置关系：//13第八章第六节解设所求直线的方向向量为根据题意知取所求直线的方程14第八章第六节当直线与平面垂直时,规定其夹角线所夹锐角称为直线与平面间的夹角;2.直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,直线和它在平面上的投影直15第八章第六节设直线L的方向向量为平面的法向量为则直线与平面夹角满足:︿16第八章第六节特别有:解:取已知平面的法向量则直线的对称式方程为直的直线方程.为所求直线的方向向量

4、.垂例3.求过点(1,－2,4)且与平面17第八章第六节解为所求夹角．18第八章第六节四、平面束介绍设直线的方程为其中系数、、与、、不成比例.表示通过直线的平面束(通过直线的平面的全体),是任意常数.其中方程方程称为通过直线L的平面束方程。可知方程是通过直线L的.对于不同的λ,方程表示通过直线L的不同平面.反之,凡是通过直线L的平面必定在方程中。19第八章第六节例4.求直线解:过直线在平面上的投影直线方程.的平面束方程为即20第八章第六节故所求投影直线方程为:该平面与平面垂直的条件是即解出得代入(1)得21第八章第六节例9求过两个平面x+2y-z+1=0与2

5、x-3y+z=0的交线且过点(1,2,3)的平面方程解设直线L通过平面方程x+2y-z+1=0与2x-3y+z=0的交线且过点(1,2,3)把点M(1,2,3)的坐标代入方程(4)我们得到3λ-μ=0,我们取λ=1,则μ=3.代入方程(4)得到22第八章第六节1.空间直线方程一般式对称式参数式内容小结23第八章第六节直线2.线与线的关系直线夹角公式:24第八章第六节平面:L⊥L//夹角公式：3.面与线间的关系直线L:25第八章第六节4.平面束不含平面26第八章第六节