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1、第六节空间直线及其方程在空间直角坐标系中：一个三元一次方程表示一个平面；空间直线一个三元二次方程表示一个曲面；两个曲面的交线表示一空间曲线；两个平面的交线表示（）。第八节空间直线及其方程直线的点向式方程直线的一般方程直线的参数方程两直线的夹角直线与平面的夹角例题、练习与思考一.空间直线的一般方程实际上空间直线可以看作两个平面的交线：直线上任一点的坐标同时满足两个平面方程,直线外的点不可能同时在两个平面上。LABCL空间直线一般方程表示式L例如:空间直线一般方程表示式通过空间直线L的平面有无数多个，从中任两个方程联立，均表示空间直线L。LL二.空间直线的对称式方程与参数方程直线的对称式方程（点向
2、式方程）sM(x,y,z)xzyO1.对称式方程(点向式)方向向量:如果一个非零向量s平行于一条已知直线，这个向量s就叫做该直线的方向向量。直线上任一向量都与s平行.Ls对称式方程的建立依据：过空间一点可以做且只可做一条直线与已知直线平行，故当已知直线上一点M0与一个方向向量s，则直线位置完全可以确定下来。sM(x,y,z)对称式方程对称式方程的建立已知直线L上一点与一个方向向量s={m,n,p}，M(x,y,z)是直线上任一点,则（1）向量与方向向量s={m,n,p}平行；（2）两个向量坐标对应成比例；即有称之为直线对称式方程.方向数与方向余弦方向数：直线的任一方向向量的坐标，即设直线的方向
3、向量s={m,n,p},则m,n,p为该直线的一组方向数。向量s的方向余弦叫作该直线的方向余弦。即三.直线的参数方程由直线的对称式方程可以导出直线的参数方程。只须设则有这就是直线L的参数方程.这里t为参数.例1求过点M0(4,-1,3)且平行于直线L1的直线方程.解设已知直线L1的方向向量s1={2,1,-5}所求直线L方向向量为s，因为s平行s1可取s={2,1,-5};又因为直线L过点M0(4,-1,3)，故，所求直线方程L为：s1L1sM0例2求以下直线的对称式方程解（1）求s,已知相交于直线的两个平面法向量分别为n1={3,2,4},n2={2,1,-3},则有即s={-10,17,-
4、1}.(2)求点M0,令方程组中z=0,则由点的确定方法不唯一.也可以令y=1等等得M0=(-9,19,0).故所求直线方程L为：四.两直线的夹角两直线夹角的定义：两直线方向向量之间的夹角（锐角）叫作两直线的夹角.s1={m1,n1,p1}s2={m2,n2,p2}L1L2φ设直线L1的方向向量s1={m1,n1,p1},设直线L2的方向向量s2={m2,n2,p2},则直线L1与直线L2的夹角的余弦公式为：两直线的夹角的余弦公式两个结论：1.若直线L1与直线L2平行，则有两直线平行图示π两直线垂直图示2.若直线L1与直线L2垂直，则有图示例题已知直线解由所给方程知s1={1，-4，1},s2
5、={2，-2，-1}，代入夹角公式可得求两直线的夹角.四.直线与平面的夹角定义直线与平面的夹角设直线L的方向向量s={m,n,p}设平面π的法线向量n={A,B,C}则定义s与n的夹角为直线L与平面π的夹角.记作φ.πAx+By+Cz+D=0n={A,B,C}πφθs={m,n,p}L直线与平面的夹角（图示）这是平面π与直线L的交角这是直线L与其在平面π上投影的交角四.直线与平面的夹角夹角公式：已知直线L的方向向量为（m,n,p）平面π的法向量为（A，B，C），则有θφn={A,B,C}s={m,n,p两个结论：1.若直线L与平面π平行，则n⊥s，于是n={A,B,C}πs={m,n,p}L/
6、/π图示L：s={m,n,p}πAx+By+Cz+D=02.若直线L与平面π垂直，则则n∥s，于是n={A,B,C}πs={m,n,p}L：π：Ax+By+Cz+D=0平行练习思考讨论确定下面直线与平面的位置关系：（1）.4x-2y-2z=3,与（2）.3x-2y+7z=8,与（3）.x+y+z=3,与直线在平面上垂直求直线与平面交点n={A,B,C}ππ：Ax+By+Cz+D=0L：s={m,n,p}M(x,y,z)图示怎样才能求出交点M？例题已知平面π2x+y+z-6=0及直线L解令直线方程求其交点.得x=2+ty=3+tz=4+2t（1）代入平面π方程，得2（2+t）+(3+t)+(4+
7、2t)-6=0整理得5t=-5,即t=-1将t=-1代回方程组（1）有x=1,y=2,z=2.即点（1，2，2）为该直线与已知平面的交点解法2，将直线方程化为一般式与已知平面联立解得.L五.综合例题解（方法一）(1)过点P作平面垂直于直线L，则平面法向量n平行于直线方向向量s，即nPQsn={2,0,-1},P(0,-1,1),得平面方程2x-z+1=0.(2)求直线与平面的交点，解方程组y+2=
