空间直线及其方程(VIII)

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1、高等数学(下)高等数学（上）BTS总体方案设计报告第八章空间解析几何与向量代数定义空间直线可看成两平面的交线．空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程第八节空间直线及其方程方向向量的定义：如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量．//二、空间直线的对称式方程与参数方程直线的对称式方程令直线的一组方向数方向向量的余弦称为直线的方向余弦.直线的参数方程例1用对称式方程及参数方程表示直线解在直线上任取一点取解得点坐标因所求直线与两平面的法向量都垂直取对称式方程参数方程解所以交点为取所求直线方程定义直线直线^两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）两直线的夹角公式三、两直线的夹角两

2、直线的位置关系：//直线直线例如，与重合解设所求直线的方向向量为根据题意知取所求直线的方程解先作一过点M且与已知直线垂直的平面再求已知直线与该平面的交点N,令代入平面方程得,交点取所求直线的方向向量为所求直线方程为另问:点M与已知直线的距离?定义直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角．^^四、直线与平面的夹角直线与平面的夹角公式直线与平面的位置关系：//在内解为所求夹角．五.平面束方程设直线l：1:A1x+B1y+C1z+D1=0(1)2:A2x+B2y+C2z+D2=0(2)其中A1,B1,C1与A2,B2,C2不成比例，即1//2建立三元一次方程::(A1x+B1y

3、+C1z+D1)+(A2x+B2y+C2z+D2)=0(3)l：1:A1x+B1y+C1z+D1=0(1)2:A2x+B2y+C2z+D2=0(2):(A1x+B1y+C1z+D1)+(A2x+B2y+C2z+D2)=0(3)考查直线l与平面的关系：(1)直线l上的任何点p(x,y,z)满足方程(1)、(2)，也满足方程(3)。故：方程(3)表示通过直线l的平面，且对于不同的值，方程(3)表示通过直线l的不同平面。(2)通过直线l的任何平面(除2以外)都包含在方程(3)的一族平面内。这是因为：对于直线l外任意一点p0(x0,y0,z0)若不在2:A2x+B2y+C2z+D2=0

4、上令：l：1:A1x+B1y+C1z+D1=0(1)2:A2x+B2y+C2z+D2=0(2)p0(x0,y0,z0)过直线l与点p0的平面为:故：对于直线l,方程(3)包含了(除2外的)过直线l的全体平面。:(A1x+B1y+C1z+D1)+(A2x+B2y+C2z+D2)=0(3)定义：对于直线l,通过l的平面的全体称为平面束。对于直线l:1:A1x+B1y+C1z+D1=0(1)2:A2x+B2y+C2z+D2=0(2)方程(A1x+B1y+C1z+D1)+(A2x+B2y+C2z+D2)=0(3)称为l的平面束方程(表示缺少一个平面2的平面束)例6:一平面通过直线l:x

5、+y–z=0x–y+z–1=0和点p0(1,1,–1)建立它的方程.解：过直线l的平面束方程为(x+y–z)+(x–y+z–1)=0点p0(1,1,–1)在平面上，代入方程，得3–2=0,所求平面为：(x+y–z)+(x–y+z–1)=0即：5x–y+z–3=0例7.求直线l:x+y1=0,y+z+1=0.在平面:2x+y+2z=0上的投影直线方程.解：设投影直线为l'，则由l与l'决定的平面'与平面垂直。过l的平面束方程为即与平面:2x+y+2z=0垂直的平面满足：代入平面束方程，得'll''：故:投影直线l':xz2=02x+y+2z=0即'll':2x+y+2

6、z=0