平面、空间直线及其方程

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1、一、向量的向量积：二、平面及其方程一、平面的点法式方程1．平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直。2．平面的点法式方程已知平面上的一点和它的一个法线向量，对平面上的任一点，有向量n，即代入坐标式，有：此即平面的点法式方程。【求平面方程的方法】二、平面的一般方程任一平面都可以用三元一次方程来表示。平面的一般方程为：几个平面图形特点：1）D＝0：通过原点的平面。2）A＝0：法线向量垂直于轴，表示一个平行于轴的平面。同理：B＝0或C＝0：分别表示一个平行于轴或轴的平面。3）A＝B＝0：方程为，法线向量，方程表

2、示一个平行于面的平面。同理：和分别表示平行于面和面的平面。4）反之：任何的三元一次方程，例如：都表示一个平面，该平面的法向量为例2：设平面过原点及点，且与平面垂直，求此平面方程。解：设平面为，由平面过原点知　由平面过点知　　，所求平面方程为三、空间直线及其方程一、空间直线的一般方程空间直线可以看成是两个平面的交线。故其一般方程为：二、空间直线的对称式方程与参数方程平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量。已知直线上的一点和它的一方向向量，设直线上任一点为，那么与s平行，由平行的坐标表示式有：此即空间直线的对称式方程（或称为点向式方程）。如设就可将对称式方程

3、变成参数方程（t为参数）三种形式可以互换，按具体要求写相应的方程。例2：求过点（2，1，3）且与直线垂直相交的直线方程．解：先作一平面过点（2，1，3）且垂直于已知直线（即以已知直线的方向向量为平面的法线向量），这平面的方程为再求已知直线与这平面的交点。将已知直线改成参数方程形式为x=-1+3ty=1+2tz=-t并代入上面的平面方程中去，求得t＝，从而求得交点为．以此交点为起点、已知点为终点可以构成向量s即为所求直线的方向向量：故所求直线方程为