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时间:2018-05-03
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1、高三年级统考试题数学参考答案及评分标准(理工农医类)一.选择题:ADCBBACDAADA二.填空题:13.1 14.19 15.(p+0.1)a16.(1,+∞)三.解答题:17.解:a·b2分
2、a+b
3、4分∴cosx≥0,因此
4、a+b
5、=2cosx ∴f(x)=a·b-2|a+b|即6分 ∴0≤cosx≤1 ①若<0,则当且仅当cosx=0时,f(x)取得最小值-1,这与已知矛盾;8分 ②若0≤≤1,则当且仅当cosx=时,f(x)取得最小值, 由已知得,解得:10分 ③若>1,则当且仅当cosx=1时,f(x)取得最小值, 由已知得,解
6、得:,这与相矛盾. 综上所述,为所求.12分18.解:取3个球的方法数为2分设“3个球全红色”为事件A,“3个全蓝色”为事件B,“3个球全黄色”为事件C,则,4分 ∵A、B、C为互斥事件∴P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C) 即ÞP(A)=06分 ∴红球的个数≤2,又∵n≥2,故n=28分记“3个球中至少有一个是红球”为事件D,则为“3个球中没有红球”12分19.(1)解:∵的第二项为,∴q=x2分 ∴an=xn-1,6分ABCDQPyxz(2)解:当x=1时, 又 ∴,An=n·2n-18分 当x≠1时, 10分 ∴12分法一
7、 (1)解:以为x、y、z轴建立空间直角坐标系,则 B(0,,0),C(-a,,0),D(-a,0,0),P(0,0,4)2分设Q(t,,0),则 =(t,,-4),=(t+a,,0)∵PQ⊥QD,∴=0 即t2+at+3=0 ① ∴△=a2-12≥0 Þ a≥2.4分(2)解:∵BC上存在唯一点Q,使PQ⊥QD,∴△=a2-12=0 Þ a=2,t=-6分 =(-,,0),=(-2,0,-4) ∴cos 故异面直线AQ与PD所成角为arccos.8分(3)解:过Q作QM∥CD交AD于M,则QM⊥AD,M(t,0,0) ∵PA⊥平面ABCD,
8、∴PA⊥QM,又QM⊥AD,∴QM⊥平面PAD 过M作MN⊥PD于N,连结NQ,由三垂线定理知QN⊥PD ∴∠MNQ是二面角A-PD-Q的平面角 设N(m,0,n),则=(t-m,0,-n),=(t-m,,-n)=(-4-m,0,-n) ∵MN⊥PD,ND、PD共线,∴ 得:m+n-t=0,m-n=4 ② 由①得:t=-1或t=-3,由②得:n=2+t 当t=-1时,,当t=-3时, ∴二面角A-PD-Q的大小为或.12分方法二(1)解:设BQ=t,则PQ2=19+t2,QD2=3+(a-t)2,PD2=16+a2由PQ⊥QD得:19+
9、t2+3+(a-t)2=16+a2,即t2-at+3=0 ① ∴△=a2-12≥0 Þ a≥2.4分(2)解:∵BC上存在唯一点Q,使PQ⊥QD,∴△=a2-12=0 Þ a=2,t=,故Q是BC中点 取AD中点R,PA中点S,连RS、RC,则RS∥PD,RC∥AQ ∴∠RSC就是异面直线AQ与PD所成角6分 ,, ∴ 故异面直线AQ与PD所成角为arccos.8分(3)解:同方法一得∠MNQ是二面角A-PD-Q的平面角10分在Rt△PAD中, 在Rt△PQD中, 由①得t=1或t=3 当t=1时,,当t=3时, ∴二面角A-PD-
10、Q的大小为或.12分21.(1)解:,∴曲线y=f(x)在点M(x1,f(x1))处的切线的斜率∴切线l的方程为,即4分(2)解:令y=0得 ①≥0 (*) ∴,当且仅当时等号成立.6分②∵,∴(*)中“=”不成立,故8分 ∵ ∴,故x2<x1 ∴当时,成立.12分22.(1)解:∵a=xi+(y+2)j,b=xi+(y-2)j,且
11、a
12、+
13、b
14、=8∴点M(x,y)到两个定点F1(0,-2),F2(0,2)的距离之和为82分∴轨迹C为以F1,F2为焦点的椭圆,方程为4分(2)解:过轴上的点(0,3),若直线是轴,则A、B两点是椭圆的顶点∴0,∴P
15、与O重合,与四边形OAPB是矩形矛盾.6分 ∴直线的斜率存在,设方程为y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2)由得:8分此时,恒成立,且10分∵,∴四边形OAPB是平行四边形 若存在直线,使得四边形OAPB是矩形,则OA⊥OB,即0 ∴12分即 Þ 解得: ∴存在直线l:,使得四边形OAPB是矩形.14分
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