高考数学 萃取精华试题（4）

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1、高考数学萃取精华30套（4）1．北京宣武区二模19.（本题满分14分）已知点满足：，且已知（1）求过点的直线的方程；（2）判断点与直线的位置关系，并证明你的结论；（3）求点的极限位置。解：（1）由，得：显然直线的方程为………………3分（2）由，得：∴点，猜想点在直线上，以下用数学归纳法证明：当n＝2时，点假设当时，点，即当时，∴点综上，点………………8分（3）由，得：∴数列是以为首项，公差为1的等差数列即点的极限位置为点P（0，1）………………14分（本题满分14分）已知直线与曲线交于两点A、B。（1）设，当时，求点P的轨迹方程；（2）是否存在常

2、数a，对任意，都有？如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由。（3）是否存在常数m，对任意，都有为常数？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由。解：（1）设，则由消去y，得：依题意有解得：且，即或且∴点P的坐标为：消去m，得：，即由，得，解得或∴点P的轨迹方程为（或）………………5分（2）假设存在这样的常数a由消去y得：解得：当时，，且方程<2>判别式∴对任意，A、B两点总存在，故当时，对任意，都有………………10分（3）假设这样的常数m存在，对任意的，使为一常数M。即即化简，得：∵a为任意正实数，即，矛盾。故这样的常数m不存在。……………

3、…14分2．大连二模本小题满分12分）数列，设Sn是数列的前n项和，并且满足（Ⅰ）令是等比数列，并求{bn}的通项公式；（Ⅱ）令解：（Ⅰ）依题意知，s、t是二次方程的两个实根.∵……2分∴在区间（0，a）与（a，b）内分别有一个实根.∵…………4分（Ⅱ）由s、t是的两个实根，知∴…6分∵故AB的中点C（）在曲线y=f(x)上.……8分（Ⅲ）过曲线上点的切线方程为∵，又切线过原点.∴解得=0，或当=0时，切线的斜率为ab；当时，切线的斜率为……10分∵∴两斜率之积故两切线不垂直.………………12分21．（本小题满分12分）已知函数（Ⅰ）设处取到极值

4、，其中（Ⅱ）设求证：线段AB的中点C在曲线y=f(x)上；（Ⅲ）若，求证：过原点且与曲线y=f(x)相切的两条直线不可能垂直.解：（Ⅰ）以线段AB的中点O为原点，直线AB为x轴建立直角坐标系，作CD⊥AB于D，由题知：①而②由①②………………2分同理，∴A（－1，0）、B（1，0）……4分设双曲线方程由…………6分因为E、C两点在双曲线上，所以………………8分解得，∴双曲线方程为…………10分（Ⅱ）设∵∴①又M、N在双曲线上，满足②将②代入①，∵…………………………12分又∴取值范围为（）………………14分3．德州模拟21.（12分）已知定点A（

5、0，1），B（0，－1），C（1，0），动点P满足（1）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线。（2）当解：（1）设p(x，y)则由得3分整理得（*）4分当k=1时，*式化为x=1表示直线5分当k≠1时，*式化为表示心为半径的圆6分（2）当k=2时，*式化为此时，∴其最小值为2，最大值为612分22.（14分）△ABC中，

6、AB

7、=

8、AC

9、=1，，P1为AB边上的一点，，从P1向BC作垂线，垂足是Q1；从Q1向CA作垂线，垂足是R1；从R1向AB作垂线，垂足是P2，再由P2开始重复上述作法，依次得Q2，R2，P3；Q3，R3，P4……（1）令B

10、Pn为xn，寻求BPn与（即）之间的关系。（2）点列是否一定趋向于某一个定点P0？说明理由；（3）若，则是否存在正整数m，使点P0与Pm之间的距离小于0.001？若存在，求m的最小值。解：（1）由

11、AB

12、=

13、AC

14、=1，从而△ABC为边长为1的正三角形2分则，于是∴3分同样4分又即5分（2）由（1）可得：∴的等比数列∴7分当∴点Pn趋向点P0，其中P0在AB上，且BP09分（3）11分由当∴的最小值为414分