高考数学 萃取精华试题（10）

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1、高考数学萃取精华30套（10）1.南通、扬州、泰州三市一模17．（本小题满分15分）设等比数列的首项为a1，公比为q，且q>0，q≠1.（1）若a1=qm，m∈Z，且m≥－1，求证：数列中任意不同的两项之积仍为数列中的项；（2）若数列中任意不同的两项之积仍为数列中的项，求证：存在整数m，且m≥－1，使得a1=qm.证明：（1）设为等比数列中不同的两项，由，得．………………………………………2分又，且，所以．所以是数列的第项．…………………………………6分（2）等比数列中任意不同两项之积仍为数列中的项，令，由，，，得，．令整数，则．

2、…………………………………………9分下证整数．若设整数，则．令，由题设，取，使，即，所以，即．……………12分所以q>0，q≠1，，与矛盾!所以．…………………………………………………………………15分18．（本小题满分15分）平面直角坐标系xOy中，已知⊙M经过点F1（0，－c），F2（0，c），A（c，0）三点，其中c＞0．（1）求⊙M的标准方程（用含的式子表示）；（2）已知椭圆（其中）的左、右顶点分别为D、B，⊙M与x轴的两个交点分别为A、C，且A点在B点右侧，C点在D点右侧．①求椭圆离心率的取值范围；②若A、B、M、O、C

3、、D（O为坐标原点）依次均匀分布在x轴上，问直线MF1与直线DF2的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．18解：（1）设⊙M的方程为，则由题设，得解得………………………3分⊙M的方程为，⊙M的标准方程为．…………………………………5分（2）⊙M与轴的两个交点，，又，，由题设即所以………………………7分解得，即．所以椭圆离心率的取值范围为．………………………………………10分（3）由（1），得．由题设，得．∴，．∴直线MF1的方程为，①直线DF2的方程为．②…………………………………13分由①②

4、，得直线MF1与直线DF2的交点，易知为定值，∴直线MF1与直线DF2的交点Q在定直线上．…………………15分19．（本小题满分16分）如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是等腰梯形，其中AB=1米，高0.5米，CD=2a（a＞）米．上部CmD是个半圆，固定点E为CD的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和CD平行的伸缩横杆．（1）设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗EMN的通风面积S（平方米）表示成关于x的函数；CABMNDEmmABCDEM

5、N（第19题）（2）当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN的通风面积最大？并求出这个最大面积．19解：（1）（一）时，由平面几何知识，得．∴，．……………3分（二）时，，∴………………………………5分（2）（一）时，．∵，∴，∴．①，当时，．②，当时，．……………7分（二）时，，等号成立．∴时，．…………………………………………10分A．时，∵，∴时．当，，时，当，．……………………………12分B．时，．当时，．……………………………………………14分综上，时，当时，，即MN与AB之间的距离为0米时，三角通风窗EMN的

6、通风面积最大，最大面积为平方米．时，当时，，即与之间的距离为米时，三角通风窗EMN的通风面积最大，最大面积为平方米．………………………16分本小题满分16分）设函数f（x）＝x4＋bx2＋cx＋d，当x＝t1时，f（x）有极小值．（1）若b＝－6时，函数f（x）有极大值，求实数c的取值范围；（2）在（1）的条件下，若存在实数c，使函数f（x）在闭区间［m－2，m＋2］上单调递增，求实数m的取值范围；（3）若函数f（x）只有一个极值点，且存在t2∈（t1，t1＋1），使f′（t2）＝0，证明：函数g（x）＝f（x）－x2＋t1x在区

7、间（t1，t2）内最多有一个零点．（1）因为f（x）＝x4＋bx2＋cx＋d，所以h（x）＝f′（x）＝x3－12x＋c．……2分由题设，方程h（x）＝0有三个互异的实根．考察函数h（x）＝x3－12x＋c，则h′（x）＝0，得x＝±2．x（－∞，－2）－2（－2，2）2（2，＋∞）h′（x）＋0－0＋h（x）增c＋16（极大值）减c－16（极小值）增所以故－16－16，即（x－2）2

8、（x＋4）>0（*）在区间［m－2，m＋2］上恒成立．…………7分所以［m－2，m＋2］是不等式（*）解集的子集．所以或m－2>2，即－24．………………………9分（3）由题设，可得存在α，β∈R，使f′（x）＝x3+2bx＋c＝（