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时间:2018-05-03
《高考数学 萃取精华试题(10)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、高考数学萃取精华30套(10)1.南通、扬州、泰州三市一模17.(本小题满分15分)设等比数列的首项为a1,公比为q,且q>0,q≠1.(1)若a1=qm,m∈Z,且m≥-1,求证:数列中任意不同的两项之积仍为数列中的项;(2)若数列中任意不同的两项之积仍为数列中的项,求证:存在整数m,且m≥-1,使得a1=qm.证明:(1)设为等比数列中不同的两项,由,得.………………………………………2分又,且,所以.所以是数列的第项.…………………………………6分(2)等比数列中任意不同两项之积仍为数列中的项,令,由,,,得,.令整数,则.
2、…………………………………………9分下证整数.若设整数,则.令,由题设,取,使,即,所以,即.……………12分所以q>0,q≠1,,与矛盾!所以.…………………………………………………………………15分18.(本小题满分15分)平面直角坐标系xOy中,已知⊙M经过点F1(0,-c),F2(0,c),A(c,0)三点,其中c>0.(1)求⊙M的标准方程(用含的式子表示);(2)已知椭圆(其中)的左、右顶点分别为D、B,⊙M与x轴的两个交点分别为A、C,且A点在B点右侧,C点在D点右侧.①求椭圆离心率的取值范围;②若A、B、M、O、C
3、、D(O为坐标原点)依次均匀分布在x轴上,问直线MF1与直线DF2的交点是否在一条定直线上?若是,请求出这条定直线的方程;若不是,请说明理由.18解:(1)设⊙M的方程为,则由题设,得解得………………………3分⊙M的方程为,⊙M的标准方程为.…………………………………5分(2)⊙M与轴的两个交点,,又,,由题设即所以………………………7分解得,即.所以椭圆离心率的取值范围为.………………………………………10分(3)由(1),得.由题设,得.∴,.∴直线MF1的方程为,①直线DF2的方程为.②…………………………………13分由①②
4、,得直线MF1与直线DF2的交点,易知为定值,∴直线MF1与直线DF2的交点Q在定直线上.…………………15分19.(本小题满分16分)如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD是等腰梯形,其中AB=1米,高0.5米,CD=2a(a>)米.上部CmD是个半圆,固定点E为CD的中点.△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风),MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和CD平行的伸缩横杆.(1)设MN与AB之间的距离为x米,试将三角通风窗EMN的通风面积S(平方米)表示成关于x的函数;CABMNDEmmABCDEM
5、N(第19题)(2)当MN与AB之间的距离为多少米时,三角通风窗EMN的通风面积最大?并求出这个最大面积.19解:(1)(一)时,由平面几何知识,得.∴,.……………3分(二)时,,∴………………………………5分(2)(一)时,.∵,∴,∴.①,当时,.②,当时,.……………7分(二)时,,等号成立.∴时,.…………………………………………10分A.时,∵,∴时.当,,时,当,.……………………………12分B.时,.当时,.……………………………………………14分综上,时,当时,,即MN与AB之间的距离为0米时,三角通风窗EMN的
6、通风面积最大,最大面积为平方米.时,当时,,即与之间的距离为米时,三角通风窗EMN的通风面积最大,最大面积为平方米.………………………16分本小题满分16分)设函数f(x)=x4+bx2+cx+d,当x=t1时,f(x)有极小值.(1)若b=-6时,函数f(x)有极大值,求实数c的取值范围;(2)在(1)的条件下,若存在实数c,使函数f(x)在闭区间[m-2,m+2]上单调递增,求实数m的取值范围;(3)若函数f(x)只有一个极值点,且存在t2∈(t1,t1+1),使f′(t2)=0,证明:函数g(x)=f(x)-x2+t1x在区
7、间(t1,t2)内最多有一个零点.(1)因为f(x)=x4+bx2+cx+d,所以h(x)=f′(x)=x3-12x+c.……2分由题设,方程h(x)=0有三个互异的实根.考察函数h(x)=x3-12x+c,则h′(x)=0,得x=±2.x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)h′(x)+0-0+h(x)增c+16(极大值)减c-16(极小值)增所以故-16-16,即(x-2)2
8、(x+4)>0(*)在区间[m-2,m+2]上恒成立.…………7分所以[m-2,m+2]是不等式(*)解集的子集.所以或m-2>2,即-24.………………………9分(3)由题设,可得存在α,β∈R,使f′(x)=x3+2bx+c=(
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