2011高考数学萃取精华试题16

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1、2011高考数学萃取精华30套（16）1.广州市第八十三二模19.(本题满分14分)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，打算本年度投入800万元，以后每年投入将比上年平均减少，本年度旅游收入为400万元，由于该项建设对旅游的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年平均增加.（Ⅰ）设第年（本年度为第一年）的投入为万元，旅游业收入为万元，写出，的表达式；（Ⅱ）至少经过几年旅游业的总收入超过总投入？19.（理）（Ⅲ）同解法一19．（Ⅰ）解，依题意每年投入构成首项为800万元，公

2、比为的等比数列，每年旅游业收入组织首项为400万元，公比为的等比数列。………………………………2分所以，………………………………4分（Ⅱ）解，经过年，总收投入………5分经过年，总收入……………6分设经过年，总收入超过总投入，由此，,化简得………………………………8分设代入上式整理得，解得，或（舍去）………………………………10分由，时，，，＝………12分因为在定义域上是减函数，所以……………………13分答：至少经过5年旅游业的总收入超过总投入。………………………………14分20．（本小题满分14分）设圆过点P(0

3、,2),且在轴上截得的弦RG的长为4.(１)求圆心的轨迹E的方程；(２)过点(０，１)，作轨迹的两条互相垂直的弦、，设、的中点分别为、，试判断直线是否过定点？并说明理由．20．解：(1)设圆心的坐标为，如图过圆心作轴于H,则H为RG的中点，在中，-------2分∵∴即----------------------------------------------------------6分(2)设，直线AB的方程为则-------------①----------②由①－②得，∴，∵点在直线上，∴．∴点Ｍ的坐标为．

4、---------------------------------------------10分同理可得：,,∴点的坐标为．------------------------------------------12分直线的斜率为，其方程为，整理得，显然，不论为何值，点均满足方程，∴直线恒过定点．----------------------------------14分21．（本小题满分14分）已知函数.（1）试证明：，使得（2）已知不等式≤0,对（＝2.718…）恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：在区间上，函数

5、的图象在函数的图象的下方.21．(1)证明：∵，∴且函数在（1,2）上连续，∴函数在（1,2）上有零点，即，使得-------4分（2）--------------------------------------------------5分当时，∴函数在上为增函数--------------------------------------7分∴不等式≤0,对恒成立等价于≥，∴≥-----------------------------------------------------------9分（3）证明：令-

6、------------------10分则---------------12分∵当时，∴函数在区间上为减函数∴即在上，∴在区间上，函数的图象在函数的图象的下方------14分2.合肥一模19．（本小题满分13分）某电视生产厂家有A、B两种型号的电视机参加家电下乡活动。若厂家投放A、B型号电视机的价值分别为万元，农民购买电视机获得的补贴分别为万元。已知厂家把总价值为10万元的A、B两种型号电视机投放市场，且A、B两型号的电视机投放金额都不低于1万元，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求

7、出其最大值（精确到，参考数据：）19．解：设B型号电视机的价值为万元（），农民得到的补贴为万元，则A型号电视机的价值为万元，由题意得，6分由当时，，当所以当时，取最大值，即厂家分别投放A、B两型号电视机6万元和4万元时，农民得到补贴最我，最多补贴约万元。13分20．（本小题满分13分）各项均不为零的数列，首项，且对于任意均有（1）求数列的通项公式；（2）数列的前项和为，求证：20．解：（1）由得，则所以是以3为公比，为首项的等比数列6分（2）13分21．（本小题满分13分）已知焦点在轴上，中心在坐标原点的椭圆C的

8、离心率为，且过点（1）求椭圆C的方程；（2）直线分别切椭圆C与圆（其中）于A、B两点，求

9、AB

10、的最大值。21．解：（1）设椭圆的方程为，则，椭圆过点，解处故椭圆C的方程为6分（2）设分别为直线与椭圆和圆的切点，直线AB的方程为：因为A既在椭圆上，又在直线AB上，从而有，消去得：由于直线与椭圆相切，故从而可得：①②由消去得：由于直线与圆相切，得③④由①③得：即，当且仅当时