2011高考数学萃取精华试题20

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1、2011高考数学萃取精华30套（20）1.哈尔滨四校一模20．(本小题满分12分)已知定义在正实数集上的函数，，其中．（Ⅰ）设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同，用表示，并求的最大值；（Ⅱ）设，证明：若，则对任意，，有．20.（本题满分12分）（Ⅰ）设交于点，则有，即（1）又由题意知，即（2）……2分由（2）解得将代入（1）整理得…………………………4分令，则时，递增，时递减，所以即，的最大值为……………………………………6分（Ⅱ）不妨设，变形得令，，，在内单调增，，同理可证命题成立…………………

2、…12分21．(本小题满分12分)已知点是抛物线：（）上异于坐标原点的点，过点与抛物线：相切的两条直线分别交抛物线于点A，B．（Ⅰ）若点的坐标为，求直线的方程及弦的长；（Ⅱ）判断直线与抛物线的位置关系，并说明理由．21.（本题满分12分）（Ⅰ）由在抛物线上可得，，抛物线方程为………1分设抛物线的切线方程为：联立，，由，可得可知可知……………………3分易求直线方程为………………………4分弦长为……………………5分（Ⅱ）设，三个点都在抛物线上，故有，作差整理得，所以直线：，直线：…………………6分因为均是

3、抛物线的切线，故与抛物线方程联立，，可得：，两式相减整理得：，即可知……………………8分所以直线：，与抛物线联立消去得关于的一元二次方程：……………………10分易知其判别式，因而直线与抛物线相切.故直线与抛物线相切.…………………………………………12分22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲已知中，，，垂足为，，垂足为，，垂足为．求证：（Ⅰ）；（Ⅱ）22．（本题满分10分）（Ⅰ）证明：∽∴,即……………………4分（Ⅱ）由射影定理知又由三角形相似可知，且∴，结合射影定理∴…………分23．(本

4、小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）．（Ⅰ）求直线的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与曲线交于，四两点，原点为，求的面积．23．（本题满分10分）（Ⅰ）直线的直角坐标方程为：；………………3分（Ⅱ）原点到直线的距离，直线参数方程为：曲线的直角坐标方程为：，联立得：，求得所以…………………………10分24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲若关于的不等式恒成立，求的取值范围．24．（本题满分10分）令，即可，当时，取最小值3即可，故.……………

5、……………………10分2.驻马店一模20.（本小题满分12分）已知函数，．（Ⅰ）讨论函数的单调区间；（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．20.解：（1）求导：。。。。。1分当时，，，在上递增。。。。。。。。。。。2分当，求得两根为。。。。。。。。。。3分即在递增，递减，递增。。。。。。。6分（2），。。。。。。6分且解得：。。。。12分21.（本小题满分12分）设函数，且（为自然对数的底数）.（Ⅰ）求实数与的关系；（Ⅱ）若函数在其定义域内为单调函数，求实数的取值范围；（Ⅲ）设，若存在，使得成立

6、，求实数的取值范围.21.解：（Ⅰ）由题意，得，化简得，.………………………………………………………………2分（Ⅱ）函数的定义域为.由（Ⅰ）知，，.……………………………………………………………………3分令，要使在其定义域内为单调函数，只需在内满足或恒成立.（1）当时，，.在内为单调减函数，故符合条件.…………………………………………………4分（2）当时，.只需，即时，此时.在内为单调增函数，故符合条件.………………………………………………6分（3）当时，.只需，此时.在内为单调减函数，故符合条件.综

7、上可得,或为所求.………………………………………………………………………8分（Ⅲ）在上是减函数，时，；时，.即.……………………………………………………………………………………………9分（1）当时，由（Ⅱ）知，在上递减，，不合题意.………10分（2）当时，由知，..由（Ⅱ）知，当时，单调递增，，不合题意.…………………………………………………10分（3）当时，由（Ⅱ）知在上递增，，又在在上递减，.即，.综上，的取值范围是.…………………………………………………22．（本小题满分12分）已知双曲线的离心

8、率为，右准线方程为（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求m的值.22.（本小题满分12分）（Ⅰ）由题意，得，解得，∴，∴所求双曲线的方程为.。。。。。4分（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为，线段AB的中点为，由得（判别式）,。。。。。4分∴,∵点在圆上，∴，∴.。。。。。。。。。。。。。12分