高考数学 萃取精华试题(3)

高考数学 萃取精华试题(3)

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1、高考数学萃取精华30套(3)1.台州二模(本题满分分)数列中,,当时,其前项的和满足.(Ⅰ)证明:数列是等差数列;(Ⅱ)设,数列的前项和为,求满足的最小正整数.((Ⅰ)即是1为首项,1为公差的等差数列.………………………………7分(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,所以满足的最小正整数为10.………………………………14分(21)(本题满分分)已知函数(Ⅰ)求函数的极值;(Ⅱ)设函数若函数在上恰有两个不同零点,求实数的取值范围.(21)解:(Ⅰ),令1_0+减1增所以的极小值为1,无极大值.……………………………………7分(Ⅱ),若当时,;当时,.故在上递减,在上递增.……………………………10

2、分所以实数的取值范围是………………………………15分(22)(本题满分分)已知曲线上的动点满足到点的距离比到直线的距离小.(Ⅰ)求曲线的方程;(Ⅱ)动点在直线上,过点分别作曲线的切线,切点为、.(ⅰ)求证:直线恒过一定点,并求出该定点的坐标;(ⅱ)在直线上是否存在一点,使得为等边三角形(点也在直线上)?若存在,求出点坐标,若不存在,请说明理由.(22)解:(Ⅰ)曲线的方程…………………………………………5分(Ⅱ)(ⅰ)设,整理得:同理可得:又………………………………10分(ⅱ)由(ⅰ)知中点,当时,则的中垂线方程为的中垂线与直线的交点若为等边三角形,则解得此时,当时,经检验不存在

3、满足条件的点综上可得:满足条件的点存在,坐标为.……………………15分2.树德一模本题满分12分)已知实数a≠0,函数有极大值32.(1)求实数的值;(2)求函数的单调区间.解(Ⅰ)令,得或2.∵函数有极大值32,在时取得极大值.解得当时,当时,在时,有极大值32.时函数有极大值32.……7分(Ⅱ)由得或∴函数的单调增区间是(-;单调减区间是(21.(本题满分12分)已知曲线上任意一点到直线的距离与它到点的距离之比是。(I)求曲线的方程;(II)设为曲线与轴负半轴的交点,问:是否存在方向向量为的直线,与曲线相交于两点,使,且与夹角为?若存在,求出值,并写出直线的方程;若不存在,请

4、说明理由。21.解:(Ⅰ)设为曲线上任意一点,依题意(2分)化简:,为椭圆,其方程为(4分)(Ⅱ)设直线,由消去得:(6分)设,中点,则,=………(1)依题意:,与夹角为,为等边三角形,,即,………(2)由(2)代入(1):,又为等边三角形,到距离,即解得:,,经检验,使方程有解,所以直线的方程为:(12分)22.(本题满分14分)已知数列的前项和,且,其中,(1)求,并猜想数列的通项公式;(2)求证:数列是等差数列;(3)设数列满足,为的前项和,求证:;22.(1)……………4分(2)已知式即,故因为,当然,所以.由于,且,故.于是,,所以.……………………………………8分(3

5、)由,得,故.从而..因此设故.注意到,所以.特别地,从而.所以.……………………………………14分………..14分.3.石景山一模18.(本题满分13分)在数列中,(1)求的值;(2)证明:数列是等比数列,并求的通项公式;(3)求数列。18.(本题满分13分)(1)解:2分4分(2)证明:是首项为,公比为-1的等比数列。7分,即的通项公式为所以当是奇数时,10分当是偶数时,12分综上,13分19.(本题满分14分)已知椭圆的离心率为,长轴长为,直线交椭圆于不同的两点A、B。(1)求椭圆的方程;(2)求的值(O点为坐标原点);(3)若坐标原点O到直线的距离为,求面积的最大值。19

6、.(本题满分14分)解:(1)设椭圆的半焦距为c,依题意解得由2分所求椭圆方程为3分(2)设,其坐标满足方程消去并整理得4分则(*)5分故6分经检验满足式(*)式8分(3)由已知,可得9分将代入椭圆方程,21世纪教育网整理得10分21世纪教育网21世纪教育网11分12分当且仅当,即时等号成立,经检验,满足(*)式当时,综上可知13分当

7、AB最大时,的面积最大值14分本题满分13分)已知函数(1)若,求曲线处的切线;(2)若函数在其定义域内为增函数,求正实数的取值范围;(3)设函数上至少存在一点,使得成立,求实数的取值范围。本题满分13分)解:(1)当时,函数曲线在点处的切线的斜率

8、为1分从而曲线在点处的切线方程为即(2)3分令,要使在定义域(0,∞)内是增函只需在(0,+∞)内恒成立4分由题意的图象为开口向上的抛物线,对称轴方程为,只需时,在(0,+∞)内为增函数,正实数的取值范围是6分(3)上是减函数,时,,即1分①当时,其图象为开口向下的抛物线,对称轴在车的左侧,且,所以内是减函数。当时,在因为,所以此时,内是减函数。故当时,上单调递减,不合题意;②当时,由所以又由(2)知当时,上是增函数,,不合题意;11分③当时,由(2)知上是增函数,又上是减函数,

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