高三数学抽象函数

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1、*2．12抽象函数——抽象函数要求有较高的抽象思维和逻辑推理能力，在高考命题中也有逐渐加强的趋势一、明确复习目标了解抽象函数的概念和题目形式，掌握一些常用的方法。二．建构知识网络1.抽象函数——没有给出函数解析式，只是给出函数所满足的一些性质。2.抽象函数问题一般是由所给的性质,讨论函数的单调性、奇偶性、周期性及图象的对称性，或是求函数值、解析式等。3.抽象函数处理方法，主要是“赋值法”，通常是抓住函数特性是定义域上恒等式，利用变量代换解题。也常联系具体的函数模型可以简便地找到解题思路，及解题突破口。4.“函数式变换与图象的对称性之间的关系”(在2

2、.4函数图象变换中已详述)。三、双基题目练练手1.(2006山东)定义在R上的奇函数满足，则=()（A）-1（B）0（C）1（D）22.(2007启东质检)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)=0，对任意x∈R，都有f(x+4)=f(x)+f(4)成立，则f(2006)=()A．4012B．2006C．2008D．03.已知y=f(2x+1)是偶函数，则函数y=f(2x)的图象的对称轴是（）A.x=1B.x=2C.x=－D.x=4.已知是偶函数，，当时，为增函数，若，且，则（）5.(2006安徽)函数对于任意实数满足条件,若f(1)

3、=－5,则f(f(5))=_______.6．已知函数满足：，，则。简答:1-4.BDDB;3.f(2x+1)关于x=0对称,则f(x)关于x=1对称,故f(2x)关于2x=1对称.5.,周期是4,6．由已知：=2，∴,原式=16四、经典例题做一做【例1】已知函数对一切，都有，求证:（1）是奇函数；（2）若f(x)的图象关于直线x=1对称,则f(x)恒等于0.解：（1）在中，令，得，令，得，∴，∴，即，∴是奇函数（2）f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x).且f(0)=0图象关于直线x=1对称,即点(x,y),(2-x,y)同在曲线上,有f(2

4、-x)=f(x)，且f(2)=f(0)=0又已知f(x+y)=f(x)+f(y)∴f(x)=f(2-x)=f(2)+f(-x)=f(2)-f(x)2f(x)=f(2)=0即f(x)≡0.方法提炼：１．赋值法．赋值的目的要明确，本题就是要凑出f(0),f(-x)与f(x)的关系；２．领会函数式变换的依据、目的和策略的灵活性。【例2】已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有，且当时，（1）求证：f(x)是偶函数；　　（2）f(x)在(0,+∞)上是增函数；（3）解不等式解：（1）令，得，∴，令，得，∴，∴是偶函数（2）

5、设，则∵，∴，∴，即，∴∴在上是增函数（3），∴，∵是偶函数∴不等式可化为，又∵函数在上是增函数，∴0≠，解得：，即不等式的解集为【例3】定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）·f（b）.（1）求证：f（0）=1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；（3）求证：f（x）是R上的增函数；（4）若f（x）·f（2x－x2）＞1，求x的取值范围.（1）证明：令a=b=0，则f（0）=f2（0）.又f（0）≠0，∴f（0）=1.（2）证明：当x＜0时，－x＞0，∴f（0

6、）=f（x）·f（－x）=1.∴f（－x）=＞0.又x≥0时f（x）≥1＞0，∴x∈R时，恒有f（x）＞0.（3）证明：设x1＜x2，则x2－x1＞0.∴f（x2）=f（x2－x1+x1）=f（x2－x1）·f（x1）.∵x2－x1＞0，∴f（x2－x1）＞1.又f（x1）＞0，∴f（x2－x1）·f（x1）＞f（x1）.∴f（x2）＞f（x1）.∴f（x）是R上的增函数.（4）解：由f（x）·f（2x－x2）＞1，f（0）=1得f（3x－x2）＞f（0）.又f（x）是R上的增函数，　∴3x－x2＞0.∴0＜x＜3.关键点注：解本题的关键是灵活应用

7、题目条件，尤其是（3）中“f（x2）=f［（x2－x1）+x1］”是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略.【例4】已知f(x)是定义在Ｒ上的函数，且f(x+2)(1-f(x))=1+f(x).(1)求证：f(x)是周期函数；（２）若，试求f(2001),f(2005)的值。解：解题要点　用活条件,【研究.欣赏】函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立，且f(1)=0，（1）求的值；（2）对任意的，，都有f(x1)+2

8、令得，由（1）知，∴．∵，∴在上单调递增，∴．要使任意，都有成立，必有都成立.当时，,显然不成立．当时，，解得∴的取值范围