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《高三数学基础专题复习——函数的图像及抽象函数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、函数的图象及抽象函数一、考点回顾1．函数图象：⑴图象作法：①描点法（特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法⑵图象变换：①平移变换：ⅰ)，———左“+”右“－”；ⅱ)———上“+”下“－”；②对称变换ⅰ)ⅱ)；ⅲ)；ⅳ)；③翻转变换：（保正去负，左右翻折（上下翻折））ⅰ)：右不动，右向左翻（在左侧图象去掉）；ⅱ)：上不动，下向上翻（
2、
3、在下面无图象）；④伸缩变换ⅰ)ⅱ)2抽象函数：抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题。
4、求解抽象函数问题的常用方法是：（1）借鉴模型函数进行类比。（2）利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：（3）利用一些方法（如赋值法（令＝0或1，求出或、令或等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。3.函数的对称性。①满足条件的函数的图象关于直线对称。②因为关于点的对称的点是，所以曲线关于点的对称曲线的方程为。提醒：求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题。4.函数的周期性。定义：“函数满足，则是周期为的周期函数”。①函数满足，则是周期为2的周期函数；②若恒成立，则；
5、③若恒成立，则.（4）若恒成立，则.一、中学阶段常用抽象函数的“原型”（函数）-6-1、——(为常数）2、——=（＞0且≠1）3、——(＞0且≠1)4、——(为常数）5、－－=一、以正比例函数为模型。若f(x)为(-∞，+∞）上的单调函数，且满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)背景函数为正比例函数。例1设f(x)(x∈R）为奇函数，f(1)=f(x+2)=f(x)+f(2),则f(5)=()(A)0（B）1（C）（D）5分析：由于f(x+2)=f(x)+f(2),联想函数f(x)=kx,∵f(1)=
6、,∴k=,f(x)=x.∴f(5)=,有了背景函数通过赋值完成，解:令x=-1,则f(1)=f(-1)+f(2)由于f(x)为奇函数,∴f(-1)=-f(1),即f(1)=-f(1)+f(2).∴f(2)=1。令x=1,得f(3)=f(1)+f(2)=1+=，令x=3,得f(5)=f(2)+f(3)=。练习：1，已知的定义域为，且对一切正实数x，y都成立，若，则_______。2，已知函数对于任意实数、都有，且当＞0时，＞0，(-1)=-2，求函数在区间[-2，1]上的值域。二、以正比例函数为模型。例2，已知函
7、数满足，若，试求(2005)。分析与略解：由想：(+)=原型：=为周期函数且周期为4×=π。猜测：为周期函数且周期为4×1=4∵==-∴(+4)=∴是以4为周期的周期函数又∵f(2)=2004∴===--6-∴f(2005)=- 练习：已知是定义在R上的函数，且满足：，，求的值。分析：紧扣已知条件，并多次使用，发现是周期函数，显然，于是，所以,故是以8为周期的周期函数，从而三、以指数函数为模型设f(x)为(-∞,+∞)上的单调函数,且满足f(x+y)=f(x)·f(y)，则f(x)的背景函数为指数函数。例3设f
8、(x)定义域为R，当x>0时，f(x)>1,且对于任意实数x、y,有f(x+y)=f(x)·f(y),同时f(1)=2,解不等式f(3x-x2)>4.练习1，已知函数对于一切实数、满足(0)≠0，，且当<0时，＞1（1）当＞0时，求的取值范围（2）判断在R上的单调性分析与略解：由：想：原型：=（＞0,≠1），=1≠0。当＞1时为单调增函数，且＞0时，＞1，＜0时，0＜＜1；0＜＜1时为单调减函数，且＜0时，＞1，＞0时，0＜＜1。猜测：为减函数，且当＞0时，0＜＜1。（1）对于一切、∈R，且(0)≠0令==0，
9、则(0)=1，现设＞0，则-＜0，∴f(-)＞1又(0)=(-)==1∴=＞1∴0＜＜1（2）设<，、∈R，则－<0，(－)＞1且＞1∴，∴f(x)在R上为单调减函数四、以对数函数为模型若f(x)在（0，+∞）上是单调函数，且满足f(xy)=f(x)+f(y),则f(x)背景函数为对数函数。例3，f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数，满足f(xy)=f(x)+f(y)且f(2)=1,求f(x)+f(x-3)≤2的解集。分析：由已知想到对数函数f(x)=logax,由f(2)=1知a=2,则不等式转化为：lo
10、g2x+log2(x-3)≤2=log24,仿此可解。练习1，已知函数定义域为(0,+∞)且单调递增，满足(4)=1，（1）求(1)；(2)求(16)；（3）若+(-3)≤1，求的范围；分析与略解：由：想：（、∈R+）原型：（＞0，≠0）猜测：有(1)=0，(16)=2，……（1）令=1，=4，则(4)=(1×4)=(1)+(4)∴(1)=0（2）(16)=(4×4)=(4)+(4)=
