抽象函数学案.doc

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1、抽象函数是指只给出函数的一些性质，而未给出函数解析式的一类函数，抽象函数一般以中学阶段所学的基本函数为背景，且构思新颖，条件隐蔽，技巧性强，解法灵活。因此。，抽象函数在近几年的各种考试中成为考查重点。一.  求定义域例1.若函数y=f（x）的定义域是[－2，2]，则函数y=f（x+1）+f（x－1）的定义域为例2.已知函数f（x-1）的定义域是[-1，1]，则函数f(x+1)的定义域是。。二、求函数解析式例3：是否存在这样的函数f（x），使下面3个条件：（1）（2）（3）同时成立？若存在，求出f(x)的解析式，若不成立，说明理由。

2、二. 周期性问题与求函数值例4：.若f(x+2)=－f(x)对一切x恒成立，则周期为4变题1：若对一切x恒成立，则周期为4变题2：若,则f(x)的周期是5变题3：若,则f(x)的周期是10练习：设f（x）是定义在R上的奇函数，且满足：f（x+2）=－f（x），当0≤x≤1时f(x)=x则f（7.5）等于()（A）0.5(B)-0.5(C)1.5(D)-1.5例5：设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1,x2∈[0，]都有（Ⅰ）（Ⅱ）证明是周期函数；三. 判断函数奇偶性对称性例6：.已知函数y=f(x)

3、，(x∈R)，若f(2+x)=f(2-x)则函数y=f(x)图象关于直线X=2对称。变题1：若将条件f(2+x)=f(2-x)改成f(x)=f(4-x)呢？改成f(1+x)=f(3-x)呢？变题2：已知函数y=f(x)，(x∈R)，则y=f(2+x)与y=f(2-x)的图象关于直线X=0对称。变题3：设a是常数，函数f(x)对一切，都满足求证：函数f(x)的图象关于点(a,0)成中心对称图形xx3y2x1x2x4练习：函数y=f(x)对一切实数x满足f(4+x)=f(-x)，若方程f(x)=0恰好有4个不同的实根、则这些实根之和为

4、（）。（A）0；（B）2；（C）4；（D）8。例8：设f（x）是定义在R上的函数，对任意x，y∈R，有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）且f（0）≠0.（1）求证f（0）=1；（2）求证：y=f（x）为偶函数四．单调性问题例9．已知函数f(x)定义域为R，且满足任意x∈R，f(x＋2)=－f(x),又x∈[4,6]时，f(x)单调递增，试比较f(ln4)与f(ln2)的大小。例10．设f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数，且在[0，1)上是增函数，又f(a-2)-f(4-a2)＜0,求实数a的范围。例11.设f（x）

5、是定义在R上的奇函数，且对任意a，b，当a+b≠0，都有（1）.若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小；（2）若对一切x∈[－1，1]恒成立，求实数k的取值范围