定积分与其它数学知识的交汇与整合

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1、万方数据中。?毒i：·7(2011年第4期·高中版)·复习参考·定舻分与具它’数学知识钓交汇与整合‘441000湖北省襄阳市第一中学王勇周雪丽凸显知识交汇，考查综合能力，是高考命题的一个重要思路．定积分作为高中课改的新增内容，如何将它与传统知识有机整合，实现新而不难，新而不“凡”，是高考命题值得研究的一个方向．如果此类试题设计得恰到好处，既可提升“定积分”在整个高中数学体系中的地位，又可强化相应数学知识的横向联系，使定积分从高等数学和谐地融入初等数学．下面从实施新课标地区的高考模拟题中采撷数例并予以深度解析，旨在探索题型规律，揭示解题方法．1定积分与

2、方程的交汇与整合例1已知以石)=甜2+如+c(口≠0)，且八一1)=2，f’(0)=0，J。八茗)dz=-2，求口，b，c的值．分析根据三个条件列出三个方程，解方程组即可求出口，b，C的值．解析由八一1)=2得，口一b+c=2，①又f’(并)=2ax+b，．．．f’(o)=6=0，②而J抓髫)dx---Jo(似2+h+c)出=(}3+÷如2+cx)}：=}+÷6+c=一2．③由①，②，③联立解得a=6，b=0，c=一4．点评本题主要考查函数知识问的联系，同时考查了导数、定积分等基本运算能力．解答本题的方法是：根据题设条件，列出方程组，通过解方程组求口

3、，b，c的值．2定积分与函数的交汇与整合1例2在函数)，=COSX，菇∈[一子，虿'IT]的图象上有一点P(‘，cost)，此函数图象与茗轴及直线茹=t围成图形(如图l中阴影部分)的面‘y锄终一旦0t"IT露，，图1积为S，则S关于t的函数关系S=g(1)的图象可表示为J2√li／，一旦D丌tiA3l2l／，‘、、一卫0叮rIiBJ2—1l一一一／’一三0霄t一’，’J心√；{一一旦01rI0一'乙U解析由已知条件可得阴影部分的面积s=冉c砒=si眦【子=sm+1(t∈[一詈，詈])，即5=g(t)的图象为)，=sint(tE[一詈，詈])的图象向上

4、平移1个单位所得，故选C．点评本题考查定积分的几何意义。微积分基本定理以及三角函数图象变换的能力．例3用minta，b}表示a，b两个数中的最小值，设以茗)=min{÷，扛}(戈≥÷)，则由函数以菇)的图象，髫轴与直线茗=丢和直线x=2所围成的封闭图形的面积为解析由题意，得fY州=匡竺’在图2积为图2中的阴影部分，包括边界．．·．所求面积．s=胁+衅出=争2卜似12=手(-一÷)+·n2=矗+·n2．点评本题是一道信息迁移题，领悟新信息的实质是正确求解的关键．注意到所给函数是一分段函数，故求积分时要注意利用积分的性质将其分成几段分别计算．3定积分与不

5、等式的交汇与整合014若d：庀并：出，6：』：x，出，c：庀。i眦出，则口，6，c的大小关系是、万方数据·复习参考·十‘?擞-?(2011年第4期·高中版)47A．a

6、菇)dx=1．求证：』：叭茹)]2d．x>1．解析由于』狄茹)出=J：(似+6)出=(吉∥+妊)l：=扣+6'所以争+6=1．所以庀叭茹)]：如：庀(似+6)：如=』：(口2茗2+2如+62)如=(÷口2菇3+尉+62z)I。l=r12+06+62=(争删2+西1口2=1+击口2．又．-．口≠o'．．．1+_口I2>1，即凡叭茹)]2出>1．点评本题以定积分为媒介，结合定积分的计算作为条件，再结合相关的计算和重要变形达到证明不等式的目的．4定积分与数列的交汇与整合例6已知等差数列{a。}的前，l项和为S．，又知(xlnx)’=lnx+l且SIo=JI

7、lnxdx，S20=17．贝4s∞为A．33B．46C．48D．50解析由(xlnx)’=lnx+1联想到(xlnx一茁)’=(1nx+1)-1=lnx，于是SIo=Jllnxda：=(xhlx-X)l：=(elne-e)一(1xlnl-1)=1．在等差数列{口。)中，S。o，S∞-S。。，S∞-S∞仍成等差数列，即1，16，$30-17成等差数列'．．．32=1+(S30-17)，解得S30=48．故选C．点评在高等数学中，J。lnxdx是一个很常见的计算式，但是若直接放到高考试题中，难度偏大，于是需给出提示“(xlnx)’=lnx+1”，右边多个

8、1，需寻找一个导数为1的函数，然后减之，从而联想到了“茁7=1”。据此和微积分基本定理可求出S。。=1，再利