上海市复旦大学附属中学2021-2022学年高一下学期线上期中数学 Word版含解析.docx

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复旦大学附属中学2021学年第二学期高一线上教学阶段性评估数学试卷（评估时间90分钟，满分120分，所有答案均应写在答题纸相应位置）一、填空题（每题4分，共40分）1.已知向量，则___________．【答案】【解析】【分析】根据向量的运算法则，即可求解.【详解】根据向量的运算法则，可得.故答案为：.2.已知为虚数单位，则复数的虚部是___________．【答案】1【解析】【分析】根据虚部的定义得到答案.【详解】复数的虚部是1，故答案为：13.已知，则__________．【答案】【解析】【详解】∵，∴可得，故答案为．4.函数的严格减区间为___________．【答案】【解析】 【分析】根据余弦函数的性质计算可得.【详解】余弦函数的减区间为：，函数减区间满足即，解得，即函数的单调递减区间为，故答案为：，5.已知，则__________．【答案】【解析】【分析】由，结合数量积的运算律即可得出答案.【详解】因为，则.故答案为：.6.将函数图象上的点保持纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍后得到函数的图象，再将的图象向上平移1个单位后得到函数的图象，则的函数表达式是________．【答案】【解析】【分析】根据三角函数图象的变换规律，即可得到答案.【详解】由题意可知将函数的图象向下平移1个单位后得到函数的图象，再将的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象，即，故答案为：7.设平行四边形中，的重心为H，，则____________． 【答案】【解析】【分析】根据向量的加法运算以及三角形重心定理，表示出向量,结合条件得到的值，求得答案.【详解】设平行四边形中对角线交点为O,则,又，故，故，故答案为：8.已知i为虚数单位，，则_______．【答案】9【解析】【分析】设出，化简得到，从而求出实部.【详解】设，则，，，则，所以故答案为：99.设函数，其中．且，则的最小值为 ________．【答案】【解析】【分析】由，求得或，根据，得到函数关于对称，结合，所以，结合，分类讨论，即可求解.【详解】由题意，函数，因为，可得或，因为，要使得取得最小值，且，所以函数关于对称，可得，所以，若时，可得，其中，所以，其中，所以，其中，因为，当时，可得；若时，可得，其中，所以，其中，所以，其中，因为，当时，可得.故答案为：.10.设锐角的外心为O，且，，则__________．【答案】8【解析】【分析】设外接圆的半径为；平面向量数量积的运算律及三角形外心的性质得到 ，再根据同角三角函数的基本关系将弦化切，从而得解；【详解】解：因为点为外接圆的圆心，设外接圆的半径为；所以，整理得，所以，故，则，所以，所以，即所以，所以，则，即．故答案为：二、选择题（每题5分，共20分）11.①加速度是向量；②若且，则；③若，则直线与直线平行．上面说法中正确的有（）个．A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】【分析】由由向量的定义可判断①；当，②不成立；，则直线与直线平行或在一条直线上，可判断③.【详解】由向量的定义知，加速度是向量，所以①正确；当，满足且，但不一定平行，所以②不正确；若，则直线与直线平行或在一条直线上，所以③不正确.故选：B.12.在中，下列说法中错误的是（）．A.B.C.D.，则为锐角三角形 【答案】D【解析】【分析】对于A，在三角形中，，所以，可判断A；对于B，根据内角和余弦定理得单调性判断即可；对于C，根据正弦定理和三角形中的两边之和大于第三边可判断；对于D，化简为，则，所以角为锐角，即可判断.【详解】对于A，在三角形中，，所以，故A正确；对于B，，则，且，在上递减，所以即，故B正确；对于C，在三角形中，，由正弦定理得：，所以，故C正确；对于D，得：，则，则，则，所以角为锐角，三角形不一定是锐角三角形，所以D错误.故选：D.13.设函数，则在上所有零点的和为（）．AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】将函数的零点问题，转化为函数图象的交点问题，根据对称性，可求得答案.【详解】令，则，故在上所有零点问题，即为函数的图象的交点问题；作出函数在上的大致图象，如图示： 由于的最小正周期,故在上正好有的11个周期，每个周期内图象和直线都有一个交点，故在上共有个交点，由于点为的对称中心，故在上，图象的交点也有12个，且和上的交点两两关于对称，因此图象所有交点的横坐标之和为，即在上所有零点的和为，故选：D14.有下面两个命题：①若是周期函数，则是周期函数；②若是周期函数，则是周期函数，则下列说法中正确的是（）．A.①②都正确B.①正确②错误C.①错误②正确D.①②都错误【答案】B【解析】【分析】由周期函数的定义判断两个命题即可.【详解】若是周期函数，设周期为，则，则也是周期函数，故①正确；若是周期函数，设周期为，则，不一定成立，故②错误. 故选：B.三、解答题（共60分）15.已知向量，（1）若，求实数m的值；（2）若可以构成平面上的一个基底，求实数m的取值范围．【答案】（1）或2（2）且【解析】【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算得到方程求解；（2）根据基底的定义，利用向量共线的坐标表示求解.【小问1详解】得到或2【小问2详解】由已知得不平行，得到，所以且.16.设m是实数，关于x的方程有两根，（1）若，求m的取值范围；（2）若，求m的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】(1)由题可知，，解不等式即可得m的范围；(2)分方程有两个实根和两个虚根分别求出m的取值即可﹒当方程有两个不等实根时，根据韦达定理和即可求解；当方程有两个虚根时，设两个虚根为，，根据韦达定理求出关于a、b、m的方程组，再结合求出的值即可求出m的值． 【小问1详解】∵，∴方程有两个相等实根或一对共轭虚根，∴≤0，即≤0，即m(3m＋8)≥0，解得；【小问2详解】若方程有两个不等实根，由(1)可知＞0解得m，，即，解得或均满足＞0；若方程有两个虚根，则＜0，，设两个虚根为，则，根据韦达定理得，，(*)由，将、代入(*)得，，化简得，解得均满足＜0，综上，m取值的集合为．17.在工厂实习中，小宋拿到材料是一块顶角A为 的扇形铝板（足够大），现在需要将铝板放在切割机上，加工成一个内角为A的三角形工件．（1）小宋的师傅拿出了一个工件样品，其中，求的值；（2）师傅在小宋的扇形铝板的顶角A的角平分线上打了一个点D，且，并要求小宋加工的工件的边经过点D，则①用角B表示工件的面积S；②求S的最小值，以及取得最小值时角B的大小．【答案】（1）或，（2）①；②时，S取到最小值【解析】【分析】（1）由题意，得到，求得或和或，即可求解；（2）①利用正弦定理，求得，结合面积公式，即可求解；②利用二倍角公式和积化和差公式，得到，结合三角函数的性质，即可求解.小问1详解】解：因为，可得，又因为，可得或，所以或，由，可得或，所以或， ．【小问2详解】解：①在和中使用正弦定理，可得于是．②利用二倍角公式和积化和差公式可得：，由题意可得，所以，当，即时，S取到最小值．18.已知函数．若存在使得是严格增函数，那么称为“缓降函数”．（本题可以利用以下事实：当时，．）（1）判断以下函数是否是“缓降函数”①②（无需写出理由）；（2）求证：是“缓降函数”；（3）已知，求证：是“缓降函数”充要条件是．【答案】（1）①是；②不是；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）直接判断得解；（2）取，利用“缓降函数”定义证明； （3）先证明充分性，再利用反证法证明必要性得证.【小问1详解】解：①是；②不是.小问2详解】证明：当时，我们显然有，所以再结合所给事实可得：当时，．令，再取，于是这说明是“缓降函数”．【小问3详解】证明；令充分性：已知，取则于是是严格增函数，所以是缓降函数．必要性：用反证法，当时，若存在使是严格增函数，令，这里代表不大于a的最大整数取．此时 我们知道，这说明与严格增函数矛盾．此即说明不是缓降函数．