上海市华东政法大学附属中学2021-2022学年高一下学期期中（线上）数学 Word版含解析.docx

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2021学年高一第二学期期中线上测试数学试卷本试卷共有19道题，满分100分．考试时间90分钟．一、填空题（本题满分33分）本题共有11题，请作答在指定区域．1.将75°角化为弧度制为______弧度．【答案】##【解析】【分析】根据角度制与弧度制的转化公式求解即可.【详解】因为，所以.故答案为：2.半径为2，圆心角为的扇形的面积是_____________．【答案】【解析】【详解】解：由扇形的面积公式可得故答案：3.终边在直线上的角构成的集合可以表示为_________.【答案】【解析】【分析】写出终边落在直线上且在第一、三象限的角的集合，即可得到结果．【详解】∵角的终边在直线上，∴角的终边在一、三象限的角平分线上，∴．故答案为：．4.函数，的最小正周期为，则实数______．【答案】##0.5 【解析】【分析】由周期公式求出的值.【详解】由题可知，，∴.故答案为：.5.已知正方形ABCD的边长为1，，，，则的模等于____.【答案】【解析】【分析】由向量加法法则可求出，从而可求出模.【详解】解：.故答案为:.6.已知，则______【答案】2【解析】【分析】将已知条件转化为只含的式子，由此求得.【详解】依题意，所以，解得.故答案为：7.化简：______．【答案】【解析】【分析】结合诱导公式与同角的商数关系进行化简整理即可. 【详解】故答案为：.8.满足等式，的解为___________.【答案】【解析】【分析】根据反余弦函数的运算性质，即可求解。【详解】由题意，等式，可得.故答案为：.9.已知，则角是第________象限的角.【答案】三【解析】【分析】由已知半角的函数值，结合、并确定其符号，即可知角所在象限.【详解】，，∴角是第三象限的角.故答案为：三. 10.将函数的图象上的所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为_______．【答案】y=sin4x【解析】【详解】将函数的图象上的所有点向右平移个单位，得到函数的图象，再将的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，则所得的图象的函数解析式为，故答案为.11.设、，且，则的最小值等于________【答案】【解析】【详解】由三角函数的性质可知，，所以，即，所以，所以.二、选择题（本大题共有4题，每小题3分，共12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D四个结论，其中有且只有一个是正确的，必须把正确结论的代号写在指定位置12.设，则“”是“”的　　A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 【详解】由，可知．“”是“”的必要不充分条件．故选B．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用三角函数的性质是解决本题的关键，比较基础．13.下列函数中，既在上为增函数，又是以为最小正周期的偶函数的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据三角函数单调性及周期性和奇偶性对选项一一分析即可.【详解】对于选项A，为奇函数，故A错误；对于选项B，，当时，，根据余弦函数性质知单调递减，故B错误；对于选项C，，当时，单调递增，且是的偶函数，故C正确；对于选项D，的周期，故D错误.故选：C.14.已知的三个内角所对的边分别为.若.则该三角形的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】【分析】根据相同正弦值的两角的关系，可得结果.【详解】在中，有所以或 则或所以是等腰三角形或直角三角形故选：D【点睛】本题考查根据角度判断三角形的形状，属基础题.15.已知点A坐标为，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为.A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】，即点的纵坐标为考点：复数几何意义三、解答题（本大题共有4题，共55分）16.已知α，β都是锐角，，，求（1）；（2）的值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根据已知角的范围以及的余弦值为正，确定，然后利用同角的平方关系即可求解；（2）结合两角差的正弦公式即可求出结果.【详解】（1）因为α，β都是锐角，所以，而，所以，故；（2）又因为，则 .17.若，是关于x的方程，的两根，求：（1）a的值；（2）的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由韦达定理和平方关系可求解；（2）切化弦后代入（1）中结论可得．【小问1详解】，或．由题意，又，所以，解得或（舍去），所以．【小问2详解】由（1），．18.已知函数．（1）求函数的最小正周期； （2）求函数的严格减区间；（3）若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换可将化简为，从而可求函数的最小正周期；（2）利用正弦函数的单调性即得；（3）由题可得，利用三角函数的图象和性质可求函数在区间上的值域，进而即得．【小问1详解】∵，的最小正周期为；【小问2详解】由，可得， 故函数的严格减区间为；【小问3详解】由，可得，即在区间上恒成立，故，∵，由，可得所以，所以函数在区间上的值域是，∴.19.某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天场所，地面形状如图所示.已知已有两面墙的夹角，墙的长度为8米，已有两面墙的可利用长度足够大，记.（1）若，求三角形的周长（结果精确到0.01）；（2）为了使小动物能健康成长，要求所建造的三角形露天活动室面积尽可能大，问当边长如何设计时，该活动室面积最大？并求出最大面积.【答案】（1）2245米．（2）米时，活动室面积最大，最大面积为．【解析】 【分析】（1）由正弦定理求得后可得周长；（2）由正弦定理求得（用表示），然后计算面积，结合两角和与差的正弦公式、二倍角公式化简函数，利用正弦函数性质得最大值．【小问1详解】由正弦定理，即，，，由得，三角形周长为（米）．所以三角形周长约22.45米．【小问2详解】由得，又，得，所以，， 因为，所以，即时，，此时，此时三角形取得最大面积．