热点2-1 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性（8题型+满分技巧+限时检测）（解析版）.docx

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热点2-1函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性函数的性质是函数学习中非常重要的内容，对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小，属于基础题；对于解答题部分，一般与导数结合，考查难度较大。【题型1判断函数的单调性】满分技巧判断函数的单调性的四种方法1、定义法：按照取值、取值变形、定号、下结论的步骤判断或证明函数在区间上的单调性；2、图象法：对于熟悉的基本初等函数（或由基本初等函数构成的分段函数），可以通过利用图象来判断单调性；3、导数法：利用求导的方法（如有ex，lnx的超越函数）判断函数的单调性；4、复合法：针对一些简单的复合函数，可以利用符合函数的单调性法则（同增异减）来确定单调性。【例1】（2023·新疆乌鲁木齐·高三兵团二中校考阶段练习）下列函数中是偶函数且在区间上是增函数的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】对于A，，故不是偶函数，不符题意；对于B，因为幂函数满足，且其定义域为关于原点对称，所以是偶函数，且，所以在区间上是增函数，符合题意；对于C，，故不是偶函数，不符题意；学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 对于D，，所以在区间上不是增函数，不符题意.故选：B.【变式1-1】（2023·安徽·校联考模拟预测）已知是定义在上的偶函数，函数满足，且，在单调递减，则（）A．在单调递减B．在单调递减C．在单调递减D．在单调递减【答案】C【解析】由题意知在单调递增，为奇函数，在上单调递减.设，则，，所以在单调递增，故A错误，设，则，，在单调递增，故B错误；设，则，，所以在单调递减，故C正确；取，则，，，此时在不单调递减，故D错误.故选:C.【变式1-2】（2023·海南海口·华侨中学校考二模）已知偶函数在区间上单调递减，则函数的单调增区间是．【答案】【解析】因为偶函数在区间上单调递减，所以在区间上单调递增，又因为，则函数的图象是由函数的图象向右平移2个单位长度得到，所以函数的单调增区间是．【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为R，对任意，且，都有，则下列说法正确的是（）A．是增函数B．是减函数学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 C．是增函数D．是减函数【答案】A【解析】不妨令，，令，，又，∴是增函数．故选:A.【变式1-4】（2023·江苏扬州·高三校联考期末）已知函数在定义域中满足，且在上单调递减，则可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】对于A，函数的定义域是，，A不是；对于B，函数的定义域是R，而在上单调递增，B不是；对于C，函数的定义域是R，，，，因，则，有，即有，因此，在上单调递减，C正确；对于D，函数的定义域是，，D不是.故选：C【题型2利用函数的单调性求参数】满分技巧利用单调性求参数的三种情况：1、直接利用题意条件和单调性代入求参；2、分段函数求参，每段单调性都符合题意，相邻两段自变量临界点的函数值取到等号；3、复合函数求参，注意要满足定义域要求，通过分离常数法或构造函数法转化成恒成立或有解问题。【例2】（2023·四川南充·统考模拟预测）函数在上是减函数的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．【答案】A学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【解析】在上是减函数，只需要即可，若，则，成立；若，则是二次函数，由二次函数的性质可得，时恒成立.若，当和时，，故不成立.所以，当时，，而是的充分不必要条件.故选：A.【变式2-1】（2023·江苏淮安·高三校考阶段练习）使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是（）A．B．1C．D．0【答案】D【解析】由于函数在上单调递减，函数在区间上单调递减，所以函数在上单调递增，则，解得，所以函数在区间上单调递减的充要条件为，那么其成立的一个充分不必要条件可以是.故选：D.【变式2-2】（2023·全国·高三校联考阶段练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，则即为，而图像的对称轴为，故在上单调递增，则，即的增区间为，而函数在上单调递增，故，即实数的取值范围为，故选：B【变式2-3】（2023·贵州黔东南·高三校联考阶段练习）已知函数，若学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ，都有成立，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为对于，都有成立，所以函数是增函数，则函数和均为增函数，且有，即，解得，故选：C.【变式2-4】（2023·甘肃白银·高三校考阶段练习）已知是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为．【答案】【解析】由题意可得，解得.【题型3函数的奇偶性及应用】满分技巧1、常见的奇函数与偶函数（1）（）为偶函数；（2）（）为奇函数；（3）（）为奇函数；（4）（）为奇函数；（5）（）为奇函数；（6）为偶函数；（7）为奇函数；2、函数奇偶性的应用（1）求函数值：将待求值利用就行转化为已知区间上的函数值求解；学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 （2）求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出；（3）求参数：利用待定系数法求解，根据得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程（组），进而求出参数的值。【例3】（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知函数，下列函数是奇函数的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由于，定义域为故，定义域为，，即不是奇函数，A错误；，定义域为，不关于原点对称，即不是奇函数，B错误；，定义域为，不关于原点对称，即不是奇函数，C错误；，定义域为，，即为奇函数，D正确，故选：D【变式3-1】（2023·贵州·高三凯里一中校联考开学考试）设函数为奇函数，则实数的值为（）A．B．0C．1D．2【答案】B【解析】函数有意义，有，解得或，则函数的定义域为，，所以函数为奇函数，又为奇函数，则为偶函数，有，即，解得.故选：B.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【变式3-2】（2023·福建泉州·高三培元中学校考阶段练习）已知函数，若为奇函数，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可得当时，，因为为上的奇函数，所以，所以，，所以（舍去），或，因为，所以.故选：A.【变式3-3】（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期末）已知为奇函数，为偶函数，且满足，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意知，为奇函数，为偶函数，则，所以，即，解得.故选：B【变式3-4】（2023·江西·高三校联考阶段练习）若奇函数，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，又因为为奇函数，所以，因为，所以，所以，故选：A【题型4奇函数+常数求值】学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 满分技巧已知为奇函数，则，设（其中为常数），则，【例4】（2023·四川达州·统考一模）函数，且，则的值为.【答案】0【解析】令，定义域为或且，关于原点对称，则，故为奇函数，又，故，解得.【变式4-1】（2023·重庆九龙坡·高三四川外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）函数为奇函数，且，若，则．【答案】【解析】因为函数为奇函数，所以，所以，即，解得：或（舍去），故，因为，，则所以，又，所以.【变式4-2】（2023·福建莆田·高三莆田第十中学校考期中）函数的最大值为，最小值为，若，则．【答案】【解析】因为，设，则，设，则，所以是上的奇函数，最大值为，最小值为，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 所以，由，得.【变式4-3】（2023·江苏苏州·高三常熟中学校考阶段练习）已知函数在上的最大值和最小值分别为M，N，则（）A．B．0C．2D．4【答案】D【解析】令，所以最大值和最小值分别为，又，故为奇函数，故的图象关于原点对称，故,故选：D【变式4-4】（2023·全国·高三专题练习）若关于x的函数的最大值和最小值之和为4，则．【答案】2【解析】当时，，当或时，，所以的定义域为.又，设，则，∴g(x)为奇函数；设g(x)的最大数值为M，最小值为N，则，则的最大数值为，最小值为，∴的最大值与最小值之和为，得．【题型5函数的周期性及应用】满分技巧（是不为0的常数）（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则；学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 （5）若，则；（6）若，则（）；【例5】（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知函数是定义域为上的奇函数，满足，若，则（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【解析】因为函数是定义域为上的奇函数，则，即，由，得，因此，即，则，于是函数是以4为周期的周期函数，由，得，由，得，，从而，所以.故选：A【变式5-1】（2023·山东菏泽·高三校考阶段练习）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（）A．0B．C．D．3【答案】A【解析】因为在上的奇函数，且，所以，即，所以，则的周期为，所以，故选：A【变式5-2】（2023·全国·模拟预测）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，若，则．【答案】5【解析】由为奇函数，可得，则的图象关于点对称，又的定义域为，则有．由为偶函数得，则的图象关于直线对称，则，从而，则，则，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 故是周期为4的偶函数，所以．而，所以，，故.【变式5-3】（2023·河南南阳·高三统考期中）奇函数满足，，则.【答案】【解析】奇函数满足，则，，故，函数周期为，.【变式5-4】（2023·全国·模拟预测）已知定义域为的奇函数满足，当时，，则.【答案】【解析】当时，由可得，则，是周期为的周期函数.因为，，所以，得，，故，，故.【题型6函数的对称性及应用】满分技巧1、关于线对称：若函数满足，则函数关于直线对称，特别地，当a＝b＝0时，函数关于y轴对称，此时函数是偶函数．2、关于点对称：若函数满足，则函数关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，，则函数关于原点对称，此时函数是奇函数．【例6】（2023·全国·高三专题练习）若函数满足，则的图象的对称轴是（）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 A．轴B．轴C．直线D．不能确定【答案】B【解析】因为，所以，所以为偶函数，所以的图象的对称轴为轴．故选：B【变式6-1】（2023·四川眉山·高三仁寿一中校考阶段练习）定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数在区间上所有零点之和为（）A．16B．32C．36D．48【答案】B【解析】依题意函数为定义在上的奇函数，所以，又，所以函数关于轴对称，且，所以，即，所以，所以函数是周期为4的周期函数，且函数的图象关于中心对称；令，得，由反比例函数性质知函数的图象关于中心对称，又当时，，结合对称性和周期性作出函数和的图象，如图所示，由图可知，函数和的图象有8个交点，且交点关于中心对称，所以函数在区间上所有零点之和为.故选：B【变式6-2】（2023·陕西铜川·高三校考期末）已知函数，则方程在区间上的所有实根之和为（）A．0B．3C．6D．12学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【答案】C【解析】由题意得，，，所以的图象关于对称；当时，；当时，令可得，时，，时，，在同一直角坐标系中画出，在上有且仅有3个交点，所以所有的实根之和为，故选：C.【变式6-3】（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知函数，若实数满足，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，记，，则，，且单调递增，单调递增，则与都关于中心对称且为上的增函数,所以，故关于中心对称且为上增函数，则由，得，可得，记，则，可得，当且仅当，即取等号，故的最大值为.故选：C．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【变式6-4】（2023·上海·高三闵行中学校考阶段练习）已知函数与函数的图象交于点M、N、P，此三点中最远的两点间距离为，则实数.【答案】【解析】不妨记，，函数，与是奇函数且关于坐标原点对称，所以两个函数均是以点为对称中心的函数，所以三个交点其中一个必是点，另外两个点关于点对称，不妨记，设，所以，即，解得或，.【题型7利用函数的性质比较大小】【例7】（2023·江西上饶·高三校考阶段练习）设是定义域为的偶函数，且在单调递减，设，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，即，由于函数是偶函数，在区间上单调递减，所以在上单调递增，则，故选：B【变式7-1】（2023·广西·模拟预测）已知，，，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为则函数定义域为，且满足，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 即，所以函数为奇函数，又由函数，都是上单调递增函数，所以在单调递增，因为且，所以，又因为，，所以，因为在单调递增，所以．故选：A．【变式7-2】（2023·全国·模拟预测）已知函数．若为偶函数，，，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为为偶函数，则，可知的对称轴为，又因为均只有一条对称轴，可知只有一条对称轴，则，可得，所以，当时，，因为在上为增函数，则在上为增函数，令，则，当时，，则在上单调递增，可得，即，则；由，可得，则；即，可得，所以．故选：A．【变式7-3】（2023·山东菏泽·高三校考阶段练习）已知，，，，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为在内单调递增，则，即；学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 在内单调递增，则，即；在内单调递减，则，所以；综上所述：.又因为在内单调递增，所以.故选：A.【变式7-4】（2023·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考阶段练习）已知是定义域为的单调函数，且，若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知，令，又因为是定义域为的单调函数．所以存在唯一，使，即，所以，解得，所以.如图所示作出与的图象，因为它们互为反函数，则图象关于直线对称，由，在图中作直线，则与的交点的横坐标依次为，可得，又因为是单调递增的，所以，故选：C.【题型8利用函数的性质解不等式】满分技巧解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成或的形式，再根据奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，列出不等式（组），同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响。【例8】（2023·海南·高三校联考阶段练习）已知是偶函数，，且当时，单调递增，则不等式的解集为（）A．B．C．D．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【答案】A【解析】由题意可知，当时，，当时，，当或时，，当时，，则，由已知可得，解得，又，所以；当时，，则，由已知可得或，解得或，又，所以.综上，可得不等式的解集为.故选：A【变式8-1】（2023·全国·高三贵溪市实验中学校联考阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】的定义域为，且，所以为偶函数，又当，由于函数均为单调递增函数，所以在上单调递增，又，．故选：A．【变式8-2】（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知是定义在上的奇函数，对任意正数，，都有，且，当时，，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，则，即，令，，则，又，则，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 不妨取任意正数，，因为，所以，即，所以在区间上单调递增，又是定义在上的奇函数，故在区间上单调递增，令，则，令，，则，∴，又因为，即，由和，结合函数单调性可以得到或，故选：B.【变式8-3】（2023·四川·高三校联考阶段练习）已知函数，若对任意的，恒成立，则a的取值范围为.【答案】【解析】由题易知，的定义域为R，因为，所以为奇函数.又，函数在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递减.若对任意的，恒成立，即，又为奇函数，得，因为在上单调递减，所以对任意的恒成立，即对任意的恒成立.当时，不恒成立，不符合题意；当时，有，解得.综上，a的取值范围为.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【变式8-4】（2023·全国·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为．【答案】【解析】由题可得，当时，，，当时，，所以函数为偶函数．当时，，此时恒成立，所以函数在上单调递增，由为偶函数可得，函数在上单调递减．又因为，所以，即，所以，即或，解得或，所以的解集为．（建议用时：60分钟）1．（2023·全国·高三专题练习）设函数，则函数是（）A．偶函数，且在上是减函数B．奇函数，且在上是减函数C．偶函数，且在上是增函数D．奇函数，且在上是增函数【答案】D【解析】要使函数有意义，则，解得，则函数定义域为关于原点对称，且，则函数是奇函数；且，其中在上单调递增，在上单调递增，所以函数在上是增函数；故选：D学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 2．（2023·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习）若为奇函数，则的单调减区间是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为为奇函数，且定义域为，所以，解得，当时，，满足题意，则（或），因为二次函数在上单调递减，在上单调递增，且在其定义域上单调递增，所以复合后，的单调递减区间为，故选：B3．（2023·陕西商洛·统考一模）已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为是定义在上的增函数，所以，解得.故选：B4．（2023·重庆·高三西南大学附中校联考阶段练习）设，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】对于，显然，，所以；对于，可构造函数，且，所以，当时，所以在单调递增，当时，所以在单调递减，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 所以，所以，所以，即，故，所以.综上：.故选:A.5．（2023·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）已知函数，则不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，函数，所以是偶函数，令，设，则，因为，所以，所以，所以在上单调递增，因为在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，因为不等式，所以，解得，或，则不等式的解集是.故选：C.6．（2023·河南·高三南阳中学校联考阶段练习）已知函数为定义在上的奇函数，当时，；当时，，则（）A．-24B．-12C．D．【答案】D【解析】.为奇函数，故，所以.故选：D.7．（2023·河北沧州·高三校联考阶段练习）已知定义域为的函数满足，，当时，，则（）A．B．2C．D．3【答案】A【解析】因为定义域为的函数满足，则为奇函数，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 又，所以，所以，则是周期为的周期函数，又因为，即，又当时，，所以，解得，所以，所以.故选：A8．（2023·四川成都·高三成都实外校考阶段练习）已知定义域为的函数满足，且其图像关于直线对称，若当时，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设点在函数的图象上，则关于直线的对称点为，则，解得，则，又时，，则，又，所以，则，此图象关于对称，所以，故选：D.9．（2023·河北承德·高三双滦区实验中学校考阶段练习）（多选）已知的定义域为且为奇函数，为偶函数，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是（）A．是偶函数B．C．的图象关于对称D．【答案】ABC【解析】为奇函数，为偶函数，所以的图象关于点对称且关于直线对称，故C正确；所以，，，，所以是周期函数，4是它的一个周期．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ，，故B正确；，是偶函数，A正确；对任意的，且，都有，即时，，所以在是单调递增，，，，，∴，故D错．故选：ABC．10．（2023·山东·高三校联考阶段练习）（多选）已知函数与的定义域均为，，，且，为偶函数，下列结论正确的是（）A．的周期为4B．C．D．【答案】ABD【解析】对A：由于为偶函数，图象关于轴对称，所以图象关于对称；所以所以①，而②，将两式相加得：，则③，所以，所以是的一个周期，故A正确；对B、C、D：由A项知令，由③得，由①，得，由②得，则，所以，所以，故D正确；由①令，得，，由，，得，两式相减得，即，且关于对称，，所以④，所以，所以是周期为的周期函数，所以，故B正确；由④令，得，所以，所以，故C错误；故选：ABD.11．（2023·全国·高三专题练习）设定义在上的函数满足，且当时，，则．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【答案】1010【解析】∵，∴函数的周期．∵当时，，∴，，∴，．故．12．（2023·上海浦东新·高三南汇中学校考阶段练习）已知是定义在R上的偶函数，当且时，总有，则不等式的解集为．【答案】【解析】因为当且时，总有，即当时，，所以是上的减函数，又，则是偶函数，且在上递减，不等式即为，也即，所以，，.13．（2023·广东广州·高三广雅中学校考阶段练习）设为奇函数，若在的最大值为3，则在的最小值为.【答案】【解析】的定义域为且为奇函数，所以，，所以，，设，则，所以是奇函数，依题意可知，在的最大值为，所以在的最小值为，所以在的最小值为.14．（2023·甘肃天水·高三校联考阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且为偶函数．（1）求的解析式，并判断的单调性；（2）已知，，且，求的取值范围．【答案】（1），在上单调递增；（2）【解析】（1）因为是定义在上的奇函数，为偶函数，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 令，则，故，所以，因为在上单调递增，在上单调递减，所以函数在上单调递增，综上，，在上单调递增.（2）因为是定义在上的奇函数，且在上单调递增，，且，，即，则，当时，，则，即，故；当时，，则，即，则；综上，的取值范围为.15．（2023·四川绵阳·高三江油中学校考阶段练习）已知函数对任意，，总有，且当时，，．（1）求证：是上的奇函数；（2）求证：是上的减函数；（3）若，求实数的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】（1）证明：函数对任意，，总有，令，则，解得.令，得到，则可证，是上的奇函数.（2）证明：在上任取、且，则，由（1）是上的奇函数，所以，因为，所以.由题可知，当时，，所以.即所以函数是上的减函数.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 （3）因为，令，则令，则.因为，所以又因为函数是上的减函数，所以，则，解得，则实数的取值范围是.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司