热点2-1 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性（8题型+满分技巧+限时检测）（原卷版）.docx

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热点2-1函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性函数的性质是函数学习中非常重要的内容，对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小，属于基础题；对于解答题部分，一般与导数结合，考查难度较大。【题型1判断函数的单调性】满分技巧判断函数的单调性的四种方法1、定义法：按照取值、取值变形、定号、下结论的步骤判断或证明函数在区间上的单调性；2、图象法：对于熟悉的基本初等函数（或由基本初等函数构成的分段函数），可以通过利用图象来判断单调性；3、导数法：利用求导的方法（如有ex，lnx的超越函数）判断函数的单调性；4、复合法：针对一些简单的复合函数，可以利用符合函数的单调性法则（同增异减）来确定单调性。【例1】（2023·新疆乌鲁木齐·高三兵团二中校考阶段练习）下列函数中是偶函数且在区间上是增函数的是（）A．B．C．D．【变式1-1】（2023·安徽·校联考模拟预测）已知是定义在上的偶函数，函数满足，且，在单调递减，则（）A．在单调递减B．在单调递减C．在单调递减D．在单调递减【变式1-2】（2023·海南海口·华侨中学校考二模）已知偶函数在区间学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 上单调递减，则函数的单调增区间是．【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为R，对任意，且，都有，则下列说法正确的是（）A．是增函数B．是减函数C．是增函数D．是减函数【变式1-4】（2023·江苏扬州·高三校联考期末）已知函数在定义域中满足，且在上单调递减，则可能是（）A．B．C．D．【题型2利用函数的单调性求参数】满分技巧利用单调性求参数的三种情况：1、直接利用题意条件和单调性代入求参；2、分段函数求参，每段单调性都符合题意，相邻两段自变量临界点的函数值取到等号；3、复合函数求参，注意要满足定义域要求，通过分离常数法或构造函数法转化成恒成立或有解问题。【例2】（2023·四川南充·统考模拟预测）函数在上是减函数的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．【变式2-1】（2023·江苏淮安·高三校考阶段练习）使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是（）A．B．1C．D．0【变式2-2】（2023·全国·高三校联考阶段练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【变式2-3】（2023·贵州黔东南·高三校联考阶段练习）已知函数，若，都有成立，则的取值范围为（）A．B．C．D．【变式2-4】（2023·甘肃白银·高三校考阶段练习）已知是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为．【题型3函数的奇偶性及应用】满分技巧1、常见的奇函数与偶函数（1）（）为偶函数；（2）（）为奇函数；（3）（）为奇函数；（4）（）为奇函数；（5）（）为奇函数；（6）为偶函数；（7）为奇函数；2、函数奇偶性的应用（1）求函数值：将待求值利用就行转化为已知区间上的函数值求解；（2）求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出；（3）求参数：利用待定系数法求解，根据得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程（组），进而求出参数的值。【例3】（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知函数，下列函数是奇函数的是（）A．B．C．D．【变式3-1】（2023·贵州·高三凯里一中校联考开学考试）设函数为奇函数，则实数的值为（）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 A．B．0C．1D．2【变式3-2】（2023·福建泉州·高三培元中学校考阶段练习）已知函数，若为奇函数，且，则（）A．B．C．D．【变式3-3】（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期末）已知为奇函数，为偶函数，且满足，则（）A．B．C．D．【变式3-4】（2023·江西·高三校联考阶段练习）若奇函数，则（）A．B．C．D．【题型4奇函数+常数求值】满分技巧已知为奇函数，则，设（其中为常数），则，【例4】（2023·四川达州·统考一模）函数，且，则的值为.【变式4-1】（2023·重庆九龙坡·高三四川外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）函数为奇函数，且，若，则．【变式4-2】（2023·福建莆田·高三莆田第十中学校考期中）函数的最大值为，最小值为，若，则．【变式4-3】（2023·江苏苏州·高三常熟中学校考阶段练习）已知函数在学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 上的最大值和最小值分别为M，N，则（）A．B．0C．2D．4【变式4-4】（2023·全国·高三专题练习）若关于x的函数的最大值和最小值之和为4，则．【题型5函数的周期性及应用】满分技巧（是不为0的常数）（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则；（5）若，则；（6）若，则（）；【例5】（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知函数是定义域为上的奇函数，满足，若，则（）A．2B．3C．4D．5【变式5-1】（2023·山东菏泽·高三校考阶段练习）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（）A．0B．C．D．3【变式5-2】（2023·全国·模拟预测）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，若，则．【变式5-3】（2023·河南南阳·高三统考期中）奇函数满足，，则.【变式5-4】（2023·全国·模拟预测）已知定义域为的奇函数满足，当时，，则.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【题型6函数的对称性及应用】满分技巧1、关于线对称：若函数满足，则函数关于直线对称，特别地，当a＝b＝0时，函数关于y轴对称，此时函数是偶函数．2、关于点对称：若函数满足，则函数关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，，则函数关于原点对称，此时函数是奇函数．【例6】（2023·全国·高三专题练习）若函数满足，则的图象的对称轴是（）A．轴B．轴C．直线D．不能确定【变式6-1】（2023·四川眉山·高三仁寿一中校考阶段练习）定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数在区间上所有零点之和为（）A．16B．32C．36D．48【变式6-2】（2023·陕西铜川·高三校考期末）已知函数，则方程在区间上的所有实根之和为（）A．0B．3C．6D．12【变式6-3】（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知函数，若实数满足，则的最大值为（）A．B．C．D．【变式6-4】（2023·上海·高三闵行中学校考阶段练习）已知函数与函数的图象交于点M、N、P，此三点中最远的两点间距离为，则实数.【题型7利用函数的性质比较大小】【例7】（2023·江西上饶·高三校考阶段练习）设是定义域为的偶函数，且在单调递减，设学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ，则（）A．B．C．D．【变式7-1】（2023·广西·模拟预测）已知，，，，则（）A．B．C．D．【变式7-2】（2023·全国·模拟预测）已知函数．若为偶函数，，，，则（）A．B．C．D．【变式7-3】（2023·山东菏泽·高三校考阶段练习）已知，，，，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．【变式7-4】（2023·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考阶段练习）已知是定义域为的单调函数，且，若，则（）A．B．C．D．【题型8利用函数的性质解不等式】满分技巧解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成或的形式，再根据奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，列出不等式（组），同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响。学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【例8】（2023·海南·高三校联考阶段练习）已知是偶函数，，且当时，单调递增，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【变式8-1】（2023·全国·高三贵溪市实验中学校联考阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【变式8-2】（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知是定义在上的奇函数，对任意正数，，都有，且，当时，，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【变式8-3】（2023·四川·高三校联考阶段练习）已知函数，若对任意的，恒成立，则a的取值范围为.【变式8-4】（2023·全国·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为．（建议用时：60分钟）1．（2023·全国·高三专题练习）设函数，则函数是（）A．偶函数，且在上是减函数B．奇函数，且在上是减函数C．偶函数，且在上是增函数D．奇函数，且在上是增函数学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 2．（2023·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习）若为奇函数，则的单调减区间是（）A．B．C．D．3．（2023·陕西商洛·统考一模）已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（）A．B．C．D．4．（2023·重庆·高三西南大学附中校联考阶段练习）设，则（）A．B．C．D．5．（2023·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）已知函数，则不等式的解集是（）A．B．C．D．6．（2023·河南·高三南阳中学校联考阶段练习）已知函数为定义在上的奇函数，当时，；当时，，则（）A．-24B．-12C．D．7．（2023·河北沧州·高三校联考阶段练习）已知定义域为的函数满足，，当时，，则（）A．B．2C．D．38．（2023·四川成都·高三成都实外校考阶段练习）已知定义域为的函数满足，且其图像关于直线对称，若当时，，则（）A．B．C．D．9．（2023·河北承德·高三双滦区实验中学校考阶段练习）（多选）已知的定义域为且为奇函数，为偶函数，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是（）A．是偶函数B．C．的图象关于对称D．10．（2023·山东·高三校联考阶段练习）（多选）已知函数与的定义域均为，，，且，为偶函数，下列结论正确的是（）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 A．的周期为4B．C．D．11．（2023·全国·高三专题练习）设定义在上的函数满足，且当时，，则．12．（2023·上海浦东新·高三南汇中学校考阶段练习）已知是定义在R上的偶函数，当且时，总有，则不等式的解集为．13．（2023·广东广州·高三广雅中学校考阶段练习）设为奇函数，若在的最大值为3，则在的最小值为.14．（2023·甘肃天水·高三校联考阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且为偶函数．（1）求的解析式，并判断的单调性；（2）已知，，且，求的取值范围．15．（2023·四川绵阳·高三江油中学校考阶段练习）已知函数对任意，，总有，且当时，，．（1）求证：是上的奇函数；（2）求证：是上的减函数；（3）若，求实数的取值范围．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司