热点2-4 导数的切线问题（6题型+满分技巧+限时检测）（解析版）.docx

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热点2-4导数的切线问题导数的切线问题一直是高考数学的中重点内容，从近几年的高考情况来看，今年高考依旧会涉及导数的运算及几何意义，以选择填空题的形式考察导数的意义、求曲线的切线方程，导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档。【题型1“在”点P处的切线问题】满分技巧求曲线“在”某点处的切线方程步骤第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率第二步（写方程）：用点斜式第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。【例1】（2023·广东肇庆·高三校考阶段练习）曲线在处的切线方程为.【答案】【解析】因为，所以.又，故曲线在处的切线方程为，即【变式1-1】（2023·河南·信阳高中校联考模拟预测）已知函数，则曲线在处的切线方程为.【答案】【解析】，所以，又，故所求切线方程为，即.【变式1-2】（2023·四川雅安·统考一模）若点是函数图象上任意一点，直线为点学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 处的切线，则直线倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数中，，即，设点，求导得，由，得，即，因此函数的图象在点处的切线斜率，显然直线的倾斜角为钝角，所以直线的倾斜角的取值范围是.故选：C【变式1-3】（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则.【答案】【解析】因为的导数为，则，所以曲线在处的切线方程为，即，又切线与曲线相切，设切点为，因为，所以切线斜率为，解得，所以，则，解得.【题型2“过”点P处的切线问题】满分技巧求曲线“过”某点处的切线方程步骤第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数；第三步：利用Q在曲线上和，解出及；第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为．【例2】（2023·全国·模拟预测）过原点可以作曲线的两条切线，则这两条切线方程为（）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 A．和B．和C．和D．和【答案】A【解析】由，得为偶函数，故过原点作的两条切线一定关于y轴对称．当时，，则，设切点为，故，解得或（舍），所以切线斜率为1，从而切线方程为．由对称性知：另一条切线方程为．故选：A【变式2-1】（2023·河北保定·高三校联考阶段练习）已知函数，且为曲线的一条切线，则．【答案】2【解析】设与曲线相切的切点，由求导得，切线斜率为，因此切线方程为，依题意，，且，联立消去得，令函数，，求导得，当时，，当时，，因此函数在上递减，在上递增，当时，，则时，，所以.【变式2-2】（2023·河南周口·高三校联考阶段练习）已知，直线与曲线相切，则．【答案】2【解析】直线与曲线相切，所以，所以切点为，切点在直线上，可得.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【变式2-3】（2023·陕西·校联考模拟预测）函数的图象与直线相切，则以下错误的是（）A．若，则B．若，则C．D．【答案】C【解析】设与直线相切于点，，则①，所以切点为，而斜率为，所以切线方程为，则②.由①②得，，C选项错误，D选项正确.所以当时，，A选项正确.当时，，B选项正确.故选：C【题型3切线的平行、垂直问题】满分技巧结合平行垂直的斜率关系解决与切线平行、垂直的问题。【例3】（2023·广东茂名·统考二模）已知曲线在处的切线与在处的切线平行，则的值为.【答案】【解析】，由题意可知，，即，解得.【变式3-1】（2023·青海·校联考模拟预测）已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则（）A．B．1C．D．2【答案】A【解析】因为，所以，又因为切线与垂直，所以，所以，故选：A.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【变式3-2】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）若曲线存在垂直于轴的切线，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，在有解，则在有解，因为在上单调增，所以，则，故选：C．【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，求出这条切线的方程.【答案】【解析】∵，∴.由已知，∴得.所以，所以，∴曲线在点处的切线方程为化简得：.故所求切线方程为：.【题型4切线的条数问题】满分技巧已知，过点，可作曲线的（）条切线问题第一步：设切点第二步：计算切线斜率；第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.第四步：将代入切线方程，得：，整理成关于得分方程；第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解；学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【例4】（2023·湖南·校联考二模）若经过点可以且仅可以作曲线的一条切线，则下列选项正确的是（）A．B．C．D．或【答案】D【解析】设切点．因为，所以，所以点处的切线方程为，又因为切线经过点，所以，即.令，则与有且仅有1个交点，，当时，恒成立，所以单调递增，显然时，，于是符合题意；当时，当时，，递减，当时，，递增，所以，则，即．综上，或．故选：D【变式4-1】（2023·全国·模拟预测）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设切点为，由已知得，则切线斜率，切线方程为．∵直线过点，∴，化简得．∵切线有2条，∴，则的取值范围是，故选：D【变式4-2】（2023·全国·模拟预测）若曲线有3条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围为.【答案】【解析】由题意得，设过坐标原点的直线与曲线相切于点，则，且切线的斜率为，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 所以切线方程为，又切线过坐标原点，因此，整理得，设，则“曲线有3条过坐标原点的切线”等价于“函数有3个不同的零点”，，当x变化时，与的变化情况如下表：x01＋0－0＋当时，，当时，，所以，解得.【变式4-3】（2023·广东深圳·高三珠海市第一中学校联考阶段练习）已知函数，过点作的切线，若（），则直线的条数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，，故在R上单调递增，又，，故在处的切线方程为，点在上，故上只有点满足，又因为，所以，故点一定不在上，且一定为过的一条切线，设切点为，，则切线的斜率为，故切线方程为，因为在切线上，故，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 整理得，由可知，恒成立，故，，令，，则，令，则在上恒成立，故在上单调递增，又，当时，，当时，，又时，，时，，故恒成立，在上单调递增，故，只有1个根，即除外，过点作的切线还有一条，共2条.故选：C【题型5两条曲线的公切线问题】满分技巧已知和存在（）条公切线问题第一步：求公切线的斜率，设的切点，设的切点；第二步：求公切线的斜率与；第三步：写出并整理切线（1）整理得：（2）整理得：第四步：联立已知条件消去得到关于的方程，再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数；消去得到关于的方程再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数；【例5】（2023·湖北荆州·高三荆州中学校考阶段练习）若曲线与曲线学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 有公切线，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设公切线与函数切于点，由，得，所以公切线的斜率为，所以公切线方程为，化简得，设公切线与函数切于点，由，得，则公切线的斜率为，所以公切线方程为，化简得，所以，消去，得，由，得，令，则，所以在上递减，所以，所以由题意得，即实数的取值范围是，故选：A【变式5-1】（2023·广东广州·高三铁一中学校考阶段练习）若函数与函数的图象存在公切线，则实数t的取值范围为.【答案】【解析】由题意得，，设公切线与曲线切于点，与曲线切于点，则，则，，当时，，函数与的图象存在公切线，符合题意；当时，，即，故，令，则，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，故，故，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 综合得实数t的取值范围为.【变式5-2】（2023·辽宁营口·高三校考阶段练习）已知直线与是曲线的两条切线，则．【答案】【解析】由已知得，曲线的切线过，且，曲线为，设，直线在曲线上的切点为，，切线：，又切线过，，∴，，同理取，曲线为，设，直线在曲线上的切点为，，切线：，又切线过，，，∴.【变式5-3】（2023·江西·高三校联考阶段练习）若函数与，有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则的最小值为.【答案】【解析】，.设曲线与的公共点为，两者在公共点处的切线方程相同，因此，即，解得或.因为，，所以舍去.又，即.令函数，则.令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 则，即，解得，则的最小值为.【题型6与切线有关的距离最值】满分技巧利用平行线间距离最短的原理，找寻与已知直线平行的曲线的切线。【例6】（2023·广西玉林·校联考模拟预测）已知点P是曲线上的一点，则点P到直线的最小距离为．【答案】【解析】由题意可知：，设与相切与点Q，则，令，得，则切点，代入，得，即直线方程为，所以与直线间的距离为，即为到直线的最小距离.【变式6-1】（2023·江西宜春·高三校考开学考试）已知函数，直线．若A，B分别是曲线和直线l上的动点，则的最小值是【答案】【解析】，设在点处的切线与平行，即斜率为-2，所以，解得，则在点处的切线方程为，即则与的距离即为的最小值，即，故的最小值为.【变式6-2】（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知点P在函数的图象上，点Q在函数的图象上，则的最小值为.【答案】【解析】由函数，求导可得：，则，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 在处的切线方程为，整理可得：；由函数，求导可得：，则，在处的切线方程为，整理可得；由直线的斜率，易知：直线分别与两条切线垂直.【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）已知，，记，则的最小值为．【答案】【解析】设，，．由题意知，的最小值可转化为曲线上的点到直线上的点的距离的平方的最小值．易知，曲线与直线没有交点，则当曲线在点A处的切线平行于B所在的直线，且AB连线与直线垂直时，两点间距离最小．由，得，直线的斜率，令，解得，则，所以点A到直线的距离，故M的最小值为．（建议用时：60分钟）1．（2023·云南红河·统考一模）已知函数的图象在点处的切线经过点，则实数m的值为（）A．B．C．1D．2【答案】A【解析】由题知，，所以.故选：A2．（2023·重庆·高三统考阶段练习）设曲线在处的切线为，若的倾斜角小于，则实数的取值范围是（）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【答案】B【解析】令，求导得，则切线的斜率为，由的倾斜角小于，得切线的斜率或，即或，解得，解得或，所以实数的取值范围是.故选：B3．（2023·陕西咸阳·高三校考阶段练习）已知函数，过原点作曲线的切线，则切点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可知：，设切点为，则切线方程为，因为切线过原点，所以，解得，则.故选：B4．（2023·福建莆田·高三莆田第二十五中学校考阶段练习）已知函数的图象有两条与直线平行的切线，且切点坐标分别为，，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意可知的定义域为，所以，易得，由导数的几何意义可得切点为时，切线斜率为,同理可得，点处切线斜率为；又因为两条切线与直线平行，可得，即所以是关于方程的两根，所以，即，又学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 可得；所以，由可得，即，所以的取值范围是.故选：B5．（2023·四川凉山·统考一模）函数在区间的图象上存在两条相互垂直的切线，则的取值范围为（   ）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，不妨设这两条相互垂直的切线的切点为，且若，则恒成立，不符合题意，可排除A项；所以，此时易知单调递增，要满足题意则需.故选：D6．（2023·湖北·高三黄石二中校联考阶段练习）已知曲线在处的切线与直线垂直，则的值为（）A．4B．2C．D．【答案】B【解析】因为，可得，即曲线在处的切线斜率为，且直线的斜率为，由题意可得：，解得.故选：B.7．（2023·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）若过点可以作三条直线与曲线：相切，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设一个切点为，则由，可得该点处的切线方程，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 当经过点时，有，即，则过点切线的条数即为方程的解的个数.设，则，当或时，当时，，所以在，上单调递减，在上单调递增.当时，，当时，，又由，，可得时，有三个解，故选：D.8．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）若函数与函数的图象在公共点处有相同的切线，则实数（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设函数与函数的图象公共点坐标为，求导得，依题意，，于是，令函数，显然函数在上单调递增，且，则当时，，因此在中，，此时，经检验符合题意，所以.故选：B9．（2023·广东·校联考二模）（多选）已知函数的图象在点处的切线为，则（）A．的斜率的最小值为B．的斜率的最小值为C．的方程为D．的方程为【答案】BCD【解析】因为，所以的斜率的最小值为.因为，所以的方程为.因为，所以的方程为，即.故选：BCD.10．（2023·全国·模拟预测）（多选）若的图象在处的切线分别为，且，则（）A．B．的最小值为2学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 C．在轴上的截距之差为2D．在轴上的截距之积可能为【答案】AC【解析】对于A，B：由题意可得，当时，，当时，，所以的斜率分别为，因为，所以，得，因为，所以，故A正确，B错误．对于C，D：的方程为，即，令，得，所以在轴上的截距为，的方程为，可得在轴上的截距为，所以在轴上的截距之差为，在轴上的截距之积为，故C正确，D错误．故选：AC11．（2023·河北石家庄·高三石家庄市第二十七中学校考阶段练习）曲线在点处的切线方程为．【答案】【解析】令，则，有，，故切线方程为，化简得.12．（2023·全国·模拟预测）函数的图象在点处的切线与直线垂直，则实数．【答案】0【解析】由题可得，，所以在点处的切线斜率为，又切线与直线垂直，所以，解得．13．（2023·辽宁朝阳·高三校联考阶段练习）设函数的图象在点处的切线为，则的斜率的最小值为，此时.【答案】－8；【解析】因为，当且仅当，即时，等号成立.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 所以的斜率的最小值为－8，此时.14．（2023·全国·模拟预测）试写出曲线与曲线的一条公切线方程.【答案】或（写出一个即可）【解析】设公切线与曲线切于点，与曲线切于点.由，得.由，得.令，即，则，且，即，化为，所以，解得或.当时，，，此时切线的方程为，即.当时，，，此时切线的方程为，即.综上可知，切线的方程为或，写出任意一个即可.15．（2023·江苏淮安·高三淮阴中学校联考阶段练习）已知函数，.（1）求的单调区间；（2）当时，与有公切线，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）【解析】（1）由函数，可得，当时，可得时，，单调递减，时，，单调递增；当时，可得时，，单调递增，时，，单调递减.（2）设公切线与和的切点分别为，可得，可得切线方程为，即，即由，可得，则，所以切线方程为学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 所以，可得，设，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，当时，函数取得极大值，极大值为，又由当时，；当时，，所以，所以时，即实数的取值范围为.16．（2023·河南南阳·高三统考期中）已知函数.（1）求的单调区间；（2）若过点作直线与函数的图象相切，判断切线的条数.【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）三条【解析】（1）因为，所以.令，得；令，得.所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（2），则，设切点为，则，，所以切线方程为.将点代入得，整理得.因为方程有两个不相等正根，所以方程共有三个不相等正根.故过点可以作出三条直线与曲线相切.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司