重难点6-1 空间角与空间距离的求解（8题型+满分技巧+限时检测）（解析版）.docx

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重难点6-1空间角与空间距离的求解空间角与空间距离问题一直是高考数学必考点与热点考向。通常小题及解答题的第2小问考查，难度中等。在高考复习过程中除了掌握空间向量法，还需多锻炼几何法的应用。【题型1几何法求异面直线夹角】满分技巧1、求异面直线所成角一般步骤：（1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．（2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角．（3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．（4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．2、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：（1）直接平移法(可利用图中已有的平行线)；（2）中位线平移法；（3）补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．【例1】（2023·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考期中）在正方体中，，，，分别为，，，的中点，则异面直线与所成角的大小是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】在正方体中，连接，由分别为的中点，得分别为中点，而分别为的中点，则，，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 因此或其补角是异面直线与所成的角，在中，，则，所以异面直线与所成角的大小是.故选：C【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）如图，是圆锥的顶点，是底面直径，点在底面圆上．若为正三角形，且，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知，所以，设，则，可得，分别取的中点，连接，则，所以或其补角为异面直线与所成角，过点作于，连接，则为中点，与底面垂直，且，在中，，，所以，所以，所以在中，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：A.【变式1-2】（2024·广东·高三校联考开学考试）如图，在直三棱柱中，所有棱长都相等，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【答案】D【解析】连接，因为在直三棱柱中，，分别是棱，的中点，故，即四边形为平行四边形，所以，则即为异面直线与所成角或其补角；直三棱柱中，所有棱长都相等，设其棱长为2，连接，则，而平面，故平面，平面，故，是棱的中点，故，则,而，又，故在中，,由于异面直线所成角的范围为大于，小于等于，故异面直线与所成角的余弦值是，故选：D【变式1-3】（2022·全国·模拟预测）已知正方形的边长为2，把沿折起，使点A与点E重合，若三棱锥的外接球球心O到直线的距离为，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．0学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【答案】A【解析】易得三棱锥的外接球球心O为的中点，连接，则，取的中点H，连接，易知，则为点O到直线的距离，即，取的中点F，连接，得，则或其补角是异面直线与所成角．因为，所以，则异面直线与所成角的余弦值为，故选：A．【变式1-4】（2023·安徽·高三池州市第一中学校联考阶段练习）在正四棱台中，，点是底面的中心，若该四棱台的侧面积为，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意知：正四棱台侧面为等腰梯形，连接：，，，，，，作，如下图所示，因为棱台侧面积为，即：，得：，所以：侧棱长，因为：，得：，又因为：，所以：四边形是平行四边形，所以：，（或其补角）是异面直线与所成的角，根据余弦定理可知：，故A项正确.故选：A.【题型2向量法求异面直线夹角】满分技巧异面直线所成角：若分别为直线的方向向量，为直线的夹角，则学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 .【例2】（2023·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）如图，在直三棱柱中，，且，，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的正弦值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，，异面直线与所成角的正弦值是.故选：A.【变式2-1】（2023·安徽·高三校联考期末）已知是圆锥底面的直径，为底面圆心，为半圆弧的中点，，分别为线段，的中点，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为为半圆弧的中点，则，如图，建立空间直角坐标系，因为，，为半圆弧的中点，，分别为线段，的中点，则,，所以，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 设异面直线与所成角的角为，则，故选：B.【变式2-2】（2024·江西·高三统考期末）已知圆柱的底面半径为1，高为2，，分别为上、下底面圆的直径，四面体的体积为，则直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如图，找底面圆心，作与底面垂直，//，，故以为原点，建立空间直角坐标系，规定，，设，，易知底面圆方程为，则，，故，，故，设到面的距离为，设面的法向量，故有，，解得，，，故，由点到平面的距离公式得，已知四面体的体积为，故得，解得(负根舍去)，易得，故，，，，设直线与所成角为，故有.故选：D【变式2-3】（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考开学考试）三棱锥中，平面，，.，点是面内的动点（不含边界），，则异面直线与所成角的余弦值的取值范围为（）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【答案】A【解析】由平面平面，得，又平面，则平面，平面，则，又，平面，因此平面，而平面，则，如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，则，设，，由，得，，设异面直线与所成角为，则，令，则，显然函数在上单调递增，此时，，所以异面直线与所成角的余弦值的取值范围为.故选：A【变式2-4】（2023·广东汕头·高三潮阳实验学校校考阶段练习）正四棱锥的侧棱长为，底面的边长为，E是的中点，则异面直线与所成的角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】连接，交于点O，连接，以为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，正四棱锥的侧棱长为，底面的边长为，E是的中点，，，，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ，设异面直线与所成的角为，则，，异面直线与所成的角为．故选：C.【题型3几何法求直线与平面夹角】满分技巧1、垂线法求线面角（也称直接法）：（1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O；（2）连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；（3）把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。3、公式法求线面角（也称等体积法）：用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。公式为：sinθ=ℎl，其中θ是斜线与平面所成的角，ℎ是垂线段的长，l是斜线段的长。方法：已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为S射影，平面和平面所成的二面角的大小为，则COSθ=S射影S.这个方法对于无棱二面角的求解很简便。【例3】（2022·全国·高三专题练习）在正方体中，棱的中点分别为，，则直线与平面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】连接，在正方体中，平面，棱的中点为，则平面，而平面，故，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 则即为直线与平面所成角，设正方体棱长为2，则，则，故，故选：C【变式3-1】（2024·山西运城·高三统考期末）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，，则直线与平面夹角的正弦值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，由题意可知，，中，根据余弦定理可知，则，过点作平面，，连结，，连结，因为平面，平面，所以，且平面所以平面，平面，所以，又因为，所以，同理，中，，则，根据等面积公式，，所以，，又，所以，则，直线与平面夹角的夹角为，.故选：B学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【变式3-2】（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校联考期末）过正四棱锥的高的中点作平行于底面的截面，若四棱锥与四棱台的表面积之比为，则直线与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】依题意过正四棱锥的高的中点作平行于底面的截面，则，，，分别为，，，的中点，设正方形的边长为，，所以正方形的面积为，正方形的面积为，正四棱锥的侧面积为，四棱台的侧面积为，所以正四棱锥的表面积为，四棱台的表面积为，所以，解得，由平面，所以为直线与底面所成角，所以，又，，所以.故选：.【变式3-3】（2023·全国·高三校联考阶段练习）如图，在三棱台中，平面，，，.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 （1）求证：平面平面；（2）求与平面所成角正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）由，得，由平面，平面，则，又平面，所以平面，因为平面，所以平面平面．（2）将棱台补全为如下棱锥，由，，，易知，，由平面，平面，则，，，所以，，可得，设到平面的距离为h，又，则，可得，设与平面所成角为，，则.【变式3-4】（2023·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考阶段练习）如图，在四棱锥中，，，，，，，．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 （1）求证：平面平面；（2）若为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1），，，，，平面，平面，平面，平面平面；（2）取的中点．连接、，由（1）知平面，平面，，如图，过点作，，，，，，，，，，由勾股定理可知，，平面，平面，，为的中点，，又，，平面，为直线与平面所成角，由（1）知，又，，，，，则，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ，，，直线与平面所成角的正弦值为．【题型4向量法求直线与平面夹角】满分技巧直线与平面所成角：设是直线的方向向量，是平面的法向量，直线与平面的夹角为.则.【例4】（2023·福建福州·高三校联考期中）正四棱柱中，，四面体体积为，则与平面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，因为四面体体积为，所以，解得，建立如图所示空间直角坐标系：则，所以，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，所以，设与平面所成的角为，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 所以，故选：C【变式4-1】（2023·上海嘉定·高三校考期中）在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设正方体边长为2，以D为原点建立空间直角坐标系如图所示，则，设，则,设平面的法向量为，则取，则，所以为平面的一个法向量，所以由于，所以，所以，因为所以.故选：B【变式4-2】（2023·四川南充·统考一模）如图，在四棱锥中，平面，，，．（1）求证：平面；（2）若，二面角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）如图，取中点，连接，因为，，所以，且，又平面，平面，所以，又面，所以，又，所以四边形是平行四边形，得到，又平面，平面，所以平面.（2）如图，取中点，连接，，则，因为平面，由（1）知，所以平面，又，所以，过作，建立如图所示的空间直角坐标系，因为平面，面，所以，又，，所以面，又面，所以,故为二面角的平面角，所以，又，所以，又，所以，所以，则，设平面的一个法向量为，则由得到，，取，所以，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.【变式4-3】（2023·四川雅安·统考一模）如图，在正方体中，点是线段上的动点（含端点），点是线段的中点，设与平面所成角为，则的最小值是（）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【答案】A【解析】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设，不妨设，则，故，，设平面的法向量为，则，可取，则，所以，当时，，当时，，当，即时，，综上所述，的最小值是.故选：A.【变式4-4】（2024·江苏南通·高三海安高级中学校考开学考试）如图，己知三棱台的高为1，，为的中点，，，平面平面．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 （1）求证：平面；（2）求与平面所成角的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）由，，，故与全等，故，又为的中点，故，又平面平面，平面平面，且平面，故平面；（2）连接，由平面，平面，故，又，为的中点，故，即、、两两垂直，且，故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，有、、、，由三棱台的高为1，故，故，、，则，，，令平面的法向量为，则有，即，令，则有、，故，则有，故与平面所成角的正弦值为，即与平面所成角为.【题型5几何法求平面与平面夹角】学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 满分技巧1、定义法（棱上一点双垂线法）：提供了添辅助线的一种规律（1）方法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．（2）具体演示：如图所示，以二面角的棱a上的任意一点O为端点，在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA，OB，则∠AOB为此二面角的平面角2、三垂线法（面上一点双垂线法）----最常用（1）方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角（2）具体演示：在平面α内选一点A向另一个平面β作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连接AO，则∠AOB就是二面角的平面角。3、垂面法（空间一点垂面法）（1）方法：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。（2）具体演示：过二面角内一点A作AB⊥α于B，作AC⊥β于C，面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。4、射影面积法求二面角【例5】（2024·全国·模拟预测）已知三棱锥的外接球半径为，，，，则平面与平面的夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】D学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【解析】不妨设二面角为锐角，设的中点为，因为，所以为的外接圆圆心；设的外接圆圆心为，三棱锥的外接球球心为，如图，连接，，，，则平面，平面，，在中，，，所以由正弦定理知，所以；在中，由，得；在中，由，，得；在中，，，则；所以在中，，从而；在平面内过点作交于，则为二面角的平面角，易知，所以.故选：D.【变式5-1】（2024·全国·高三专题练习）如图，三棱锥中，且为正三角形，分别是的中点，若截面侧面，则此棱锥侧面与底面夹角的余弦值为.【答案】【解析】取和的中点分别为，，，分别是，的中点，,,由于且为正三角形，，故,由于，分别是，的中点，因此，故,由于截面侧面，所以,进而可得,由于学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 故为侧面与底面的二面角的平面角，设，，，在直角中，.【变式5-2】（2024·北京海淀·高三统考期末）在正四棱锥中，，二面角的大小为，则该四棱锥的体积为（）A．4B．2C．D．【答案】C【解析】连接，相交于点，则为正方形的中心，故⊥底面，取的中点，连接，则，，故为二面角的平面角，所以，故，所以该四棱锥的体积为.故选：C【变式5-3】（2024·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考期末）将两个相同的正棱锥的底面重叠组成的几何体称为“正双棱锥”.如图，在正双三棱锥中，两两互相垂直，则二面角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】取中点，连接，交平面于点，由正棱锥性质及对称性易知为的中心，且，故为二面角的平面角，设正三棱锥侧棱长为2，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 易得，则，在中由余弦定理得.故选：D.【变式5-4】（2023·河北邢台·宁晋中学校考模拟预测）如图，在三棱柱中，点在平面内的射影D在线段AC上，，，.（1）证明：；（2）设直线到平面的距离为，求二面角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）连接，由题设，易知为菱形，故，由点在平面内的射影D在AC上，则面，面，则，而，则，又，面，故面，面，则，而，面，则面，由面，则.（2）由（1）知面，面，则，所以是二面角的平面角，由，面，面，则面，直线到平面的距离为，即到平面的距离为，又面，面，则面面，面，面面，即到的距离为，由题设，易知，点在平面内的射影D在线段AC上，则为锐角，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 所以，故为等边三角形，即，所以二面角的大小.【题型6向量法求平面与平面夹角】满分技巧平面与平面的夹角：若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则.【例6】（2024·浙江宁波·高三余姚中学校联考期末）如图，在三棱锥中，，，平面，平面平面，是的中点.（1）求证：;（2）求平面与平面的夹角.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）作，垂足为，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，又平面，平面，所以，因为，面，所以平面，由平面，所以.（2）（向量法）如图，以为原点，及垂直面向上为轴正方向，建立空间直角坐标系.所以，所以，，易知平面的一个法向量，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 设平面的法向量为，则,令，所以，则，所以平面与平面的夹角为.（几何法）取中点，中点，连结，，，因为平面，平面，所以，又，所以，由（1）知，平面，平面，所以，在直角和直角中，，所以是等腰三角形，所以，综上，即为二面角的平面角，，，，则，所以为等腰直角三角形，故，所以平面与平面的夹角为.【变式6-1】（2024·云南昆明·统考一模）如图，在三棱锥中，平面，是线段的中点，是线段上一点，，.（1）证明：平面平面；学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 （2）是否存在点，使平面与平面的夹角为？若存在，求；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，．【解析】（1）因为，是的中点，所以，在直角中，，，所以，在中，，，所以，得，又平面，平面，所以，又，，所以平面，由平面得，又，所以平面，由平面得，平面平面．（2）存在点满足条件，以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，设，则，，，，，设平面的法向量为，则，令得，所以平面的一个法向量为，易知平面的一个法向量为，由已知得，解得，即，所以存在点使平面与平面的夹角为，此时．【变式6-2】（2024·云南曲靖·高三校联考阶段练习）如图所示，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD为矩形，，，，点M在棱PC上且．（1）证明：M为PC的中点；学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 （2）求平面PBD与平面MDB的夹角．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）因为平面平面，且平面平面，根据条件可知，平面，则平面，且平面，所以，所以，同理可得，又因为，所以是等边三角形，且，所以M是的中点．（2）以D为坐标原点，以所在直线为轴，过D垂直于底面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则．设为平面的法向量．因为，可得，令，则，可得，设平面的法向量为，因为，可得，令，则，可得，设平面与平面的夹角为，则，所以平面PBD与平面MDB的夹角.【变式6-3】（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）如图，在三棱柱中，，，为的中点，平面平面．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 （1）证明：平面；（2）若，二面角的余弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）如图，连接与相交于点，连接，三棱柱中，侧面是平行四边形，则为的中点，又为的中点，有，平面，平面，所以平面；（2）平面平面，平面平面，底面为正三角形，为的中点，则，平面，则平面，，平面，，，则二面角的平面角为，有余弦值为，中，由余弦定理，即，解得，过作直线的垂线，垂足为，则，故在的延长线上，，，，，四边形为矩形，则，以为原点，，，分别为轴，轴，轴，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的一个法向量为，则有，令，则，，即，，，设平面的一个法向量为，则有，令，则，，即，平面与平面夹角的余弦值为．【变式6-4】（2024·江苏南通·高三统考期末）已知是圆锥的底面直径，C是底面圆周上的一点，，平面和平面将圆锥截去部分后的几何体如图所示．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）为底面圆周上一点，，又，又为中点，，又底面，底面，，又底面，平面．（2）底面，底面，所以，又因为，所以以为原点，所在直线分别为轴，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 建立如图所示的空间直角坐标系，因为，，，设平面的一个法向量，由，，取，所以，而平面的一个法向量，设二面角平面角为，显然为锐角，．【题型7几何法解决空间距离问题】满分技巧点面距的求解方法1、定义法（直接法）：找到或者作出过这一点且与平面垂直的直线，求出垂线段的长度；2、等体积法：通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点线距离；3、转化法：转化成求另一点到该平面的距离，常见转化为求与面平行的直线上的点到面的距离．【例7】（2024·河北·高三校联考期末）已知正方形的边长为1，将正方形绕着边旋转至分别为线段上的动点，且，若，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由于平面，所以平面，平面，由于，则，在中，利用余弦定理可得,所以，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 过作的垂线，垂足为，由，平面，所以平面，又平面，所以，所以，不妨设，则，所以由余弦定理得，，故选：A．【变式7-1】（2024·河北邯郸·高三磁县第一中学校考阶段练习）如图，已知圆柱的底面半径和母线长均为1，分别为上、下底面圆周上的点，若异面直线所成的角为，则（）A．1B．C．1或2D．2或【答案】D【解析】如图，过点作平面于点，则是母线，连接底面，，则四边形是平行四边形，，与所成的角就是或其补角．当时，是等边三角形，，在中，；当时，在中，，在中，．综上，或.故选：D．【变式7-2】（2024·重庆·高三西南大学附中校联考开学考试）如图，在正四棱柱中，为的中点，则中点到平面的距离为．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【答案】【解析】设中点为O，O到平面距离为到平面距离的一半，连接，设到平面的距离为，由，即，，∴O到平面CDE的距离为.【变式7-3】（2024·陕西·高三校联考开学考试）如图，在三棱台中，，，．（1）证明：；（2）求点到平面的距离．【答案】（1）答案见解析；（2）【解析】（1），，．同理,平面,平面,平面,（2）平面,平面,学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 作平面,到平面的距离中,.【变式7-4】（2023·广东·统考二模）半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示的多面体就是一个半正多面体，其中四边形和四边形均为正方形，其余八个面为等边三角形，已知该多面体的所有棱长均为2，则平面与平面之间的距离为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】分别取的中点，连接，根据半正多面体的性质可知，四边形为等腰梯形；根据题意可知，而平面，故平面，又平面，故平面平面，则平面平面，作，垂足为S，平面平面，平面，故平面，则梯形的高即为平面与平面之间的距离；，故，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 即平面与平面之间的距离为，故选：B【题型8向量法解决空间距离问题】满分技巧点到平面的距离：已知平面的法向量为,是平面内的任一点，是平面外一点,过点作则平面的垂线，交平面于点,则点到平面的距离为（如图）.注意：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。【例8】（2024·广西·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.直线到平面的距离为（）.A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，平面，平面，∴平面，因此直线到平面的距离等于点到平面的距离，如图，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立直角坐标系.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 则，，，，，，，，，设平面的法向量为，则，令，则，设点到平面的距离为，则，故直线到平面的距离为.故选：C.【变式8-1】（2024·北京昌平·高三统考期末）如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（）A．B．C．D．1【答案】C【解析】由题意以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：z因为正方体棱长为1，，所以，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 不妨设，所以，而，所以点到直线的投影数量的绝对值为，所以点到直线距离，等号成立当且仅当，即点到直线距离的最小值为.故选：C.【变式8-2】（2023·河北邢台·高三宁晋中学校联考开学考试）已知四棱台中，底面为正方形，，，，⊥底面．（1）证明：．（2）求到平面的距离．【答案】（1）证明见解析;（2）【解析】（1）因为底面，底面，所以，因为底面为正方形，所以，又平面，，所以平面，又平面，所以.（2）如图建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，取，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 则点到平面的距离.【变式8-3】（2024·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习）如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，，点是线段的中点（1）证明：平面；（2）若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：取中点，连接，如图所示，为中点，则，又，得，由，，得，所以四边形为平行四边形，，又平面，平面，所以平面.（2），易知，又，得.由平面，且直线与圆柱底面所成角为，即，则有.如图，以为原点，分别为轴，过垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 则有，，，设平面的一个法向量为，则，令，有，得，，设点到平面的距离为，.【变式8-4】（2024·河南周口·高三项城市第一高级中学校联考期末）如图，将圆沿直径折成直二面角，已知三棱锥的顶点在半圆周上，在另外的半圆周上，.（1）若，求证：；（2）若，，直线与平面所成的角为，求点到直线的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）由题意知平面平面，平面平面，，且平面，故平面，又平面，故；又，且平面，故平面，而平面，故；（2）以O为坐标原点，所在直线为轴，过点O作平面的垂线作为z轴，建立空间直角坐标系，如图：学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 由于，，则，设,则，则，设平面的一个法向量为，则，即，令，则可得，由于直线与平面所成的角为，故，解得，结合，则，故，由，则，故点到直线的距离为.（建议用时：60分钟）1．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知四棱锥底面是矩形，其中，，侧棱底面，E为的中点，四棱锥的外接球表面积为，则直线与所成角的正弦值为（）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【答案】D【解析】设.可将该四棱锥补成如图所示的长方体：则该长方体的外接球即为四棱锥的外接球，其直径为，故表面积为，得，因为，故或其补角为异面直线与所成的角，因为平面，平面，得平面平面，由，得平面，且平面，故，故为锐角，又E为的中点，故在中，，在中，，故.故选：D.2．（2023·上海虹口·高三校考期中）如图所示，在正方体中，E为线段上的动点，则下列直线中与直线CE夹角为定值的直线为（）A．直线B．直线C．直线D．直线【答案】C【解析】设正方体的棱长为1，如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ，，，，，设，，则，，，，，，不是定值，故A错；，不是定值，故B错；，所以直线与直线所成角为，故C正确；，不是定值，故D错.故选：C.3．（2024·陕西渭南·统考一模）在正三棱柱中，，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】取是的中点，连接，如下图所示：设三棱柱底面边长为，可得，由正三棱柱性质可知平面，所以即为直线与平面所成角的平面角，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 易知，由勾股定理可得，所以；即直线与平面所成角的正弦值为.故选：B4．（2023·山东青岛·高三统考期中）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为塹堵，在塹堵中，若，若为线段中点，则点到直线的距离为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据塹堵的定义，建立以点为原点的空间直角坐标系，则，，，，，故，，所以，所以，设点到直线的距离为，所以，解得.故选：B.5．（2023·山东济宁·高三济宁一中校考阶段练习）如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有棱长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregularsolid），亦称为阿基米德多面体，如图2，设，则平面与平面之间的距离是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如图，不妨记正方体为，，，故四边形是平行四边形，所以，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 又，分别为，的中点，所以，同理，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，，平面，所以平面平面，设对角线分别交平面和平面于点，，因为平面，平面，所以，连接，因为分别为的中点，故，又，平面，，所以平面，又平面，所以，同理，又，，平面，所以平面，又平面平面，所以平面，即为平面与平面的距离，则，由正方体棱长为得，由题意得，为等边三角形，故，根据，得，解得，根据对称性知，所以，则平面与平面的距离为．故选：D6．（2024·山东德州·高三统考期末）（多选）在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（）A．点到的距离为B．面与面的距离为C．直线与平面所成的角为D．点到平面的距离为【答案】AB【解析】以为原点，所在的直线分别为正方向建立空间直角坐标系，对于A，，，所以点到的距离学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ，故A正确；对于B，，，，设分别为平面、平面的一个法向量，所以，令，可得，所以，，令，可得，所以，所以，所以平面平面，可得点到平面的距离即为所求，，所以点到平面的距离为，故B正确；对于C，，，设为平面的一个法向量，所以，令，可得，所以，设直线与平面所成的角为，所以，因为，所以，故C错误；对于D，因为平面的一个法向量为，，所以点到平面的距离为，故D错误.故选：AB.7．（2023·江苏镇江·高三校考阶段练习）（多选）如图，已知正方体的棱长为2，点P是线段的中点，点Q是线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 A．平面B．Q到平面的距离为C．与所成角的取值范围为D．三棱锥外接球体积的最小值为【答案】ACD【解析】A：由题意可知，且面，面，所以面面，又因为面，所以平面，故A正确；B：因为平面，所以Q到平面的距离等于到平面的距离，以所在直线分别为轴，以为原点建立空间直角坐标系，如图则，所以，设平面的法向量为，则，取，则，所以，所以到平面的距离，故B错误；C：因为，所以与所成的角就是与所成的角，因为点Q是线段上的动点（不含端点），所以与所成角的最大值为，又因为，，所以，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 所以在中，，即为与所成角的最小值，但不能取得，所以与所成角的取值范围为，故C正确；D：因为，又是直角三角形，，取的中点，则，因为棱锥外接球体积最小，所以在处，所以，所以为外接球的球心，所以，所以，故D正确；故选：ACD8．（2023·广西·模拟预测）如图，已知在矩形和矩形中，，，且二面角为，则异面直线与所成角的正弦值为．【答案】【解析】连接，，，取中点，连接，，∵四边形，为矩形，∴，，平面平面，平面，平面，∴即为二面角的平面角，∴，又，，∴，∴为等边三角形，∴；∵，分别为，中点，∴，，∴（或其补角）即为异面直线与所成角，∵，∴，∴，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 所以异面直线与所成角的正弦值为．9．（2024·广东深圳·高三深圳市高级中学校考期末）如图，在圆台中，，点C是底面圆周上异于A、B的一点，,点D是的中点，为平面与平面的交线，则交线与平面所成角的大小为．【答案】【解析】因为，D分别是，BC的中点，所以，所以平面，平面，所以平面，平面，平面平面，所以，，所以，所以直线l与平面所成角即直线与平面所成角，因为为直径，所以，因为，即，又因为平面，平面，所以，平面，所以平面，过点作交于点，因为平面，所以，，，平面，所以平面，所以为交线l与平面所成角，因为，，.所以，结合图知.10．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为矩形，为的中点．（1）求异面直线与所成的角；学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 （2）求二面角的余弦值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）是异面直线与所成的角或其补角，，∴异面直线与所成的角为．（2）∵平面平面，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，平面平面，又是二面角的平面角．平面平面，．，即二面角的余弦值为．11．（2024·重庆九龙坡·高三重庆实验外国语学校校考开学考试）如图．在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，面底面，是棱的中点．（1）证明：；（2）若，且二面角的大小为，求异面直线与所成角的正切值．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）因为侧面底面，侧面底面，又因为底面为矩形，所以，又平面，所以平面．又平面，所以．又侧面是正三角形，是的中点，所以．又，，平面，所以平面．又因为平面，所以．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 （2）如图，过点作，垂足为，易得为的四等分点，．由于侧面底面，交线为，所以底面，过作，垂足为，连接，则即为二面角的平面角，其大小为．在中，，所以，所以．因为，，所以四边形为平行四边形，从而．由（1）知平面，所以为直角三角形，所以异面直线与所成角即为．12．（2024·山西临汾·统考一模）如图，在三棱柱中，，，，二面角的大小为.（1）求四边形的面积；（2）在棱上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】（1）在三棱柱中，取的中点，连接，在中，由，，得，，在中，由，，得，，则为二面角的平面角，即，在中，由余弦定理得，解得，又，平面，则平面，而平面，于是，显然，则，所以平行四边形的面积.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 （2）由（1）知，有，则，同理，又，，即，则，以为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，，，，，，，假设存在点满足题意，不妨设，则，设平面的法向量为，则，令，得，设直线与平面所成的角为，则，解得，此时，所以存在点满足题意，且的长为.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司