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时间：2021-11-22
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1、医用高等数学”第二节偏导数与全微分一、偏导数的概念二、偏导数的几何意义三、高阶偏导数四、全微分一、偏导数的概念定义4-4设函数在点的某一邻域内有定义，当固定在而在处有增量时，相应地函数有增量如果存在，则称此极限为函数在点处对的偏导数(partialderirative)，记作或同样，当固定在，而在处有增量时，如果极限存在，则称此极限为函数在点处对的偏导数，记作或偏导数是函数沿着两个特殊方向的变化率，即一个平行于，另一个平行于轴的变化率．如果函数在区域内每一点都有关于的偏导数，这个偏导数就是的函数，称为函数关于的偏导函
2、数，简称为偏导数，记作或即同样，有函数关于的偏导函数或即函数在点处关于的偏导数显然就是偏导函数在点处的函数值；显然就是偏导函数在点处的函数值．例4-12设函数，求解把看成常量，对求导数，（注意到其中为常数，其导数为0）得把看成常量，对求导数，得在点（1，2）处的偏导数为例4-13设函数，证明：证把看成常数，则把看成常数，则所以例4-14已知理想气体状态方程为常量），试证：证因为所以注意：对一元函数来说，导数可看作函数的微分与自变量的微分之商．而偏导数的记号“”是一个整体记号，其中的横线没有相除的意义．如果一元函数在某
3、点可导，则它在该点必定连续．但对于.二元函数，即使在某点两个偏导数都存在，也不能保证它在该点连续．例如函数在点（0，0）处的两个偏导数都存在，但由第一节中例4-13知此函数在（0，0）点不连续．二、偏导数的几何意义:是曲线在点M0处的切线对x轴的斜率.在点M0处的切线斜率.是曲线对y轴的三、高阶偏导数设函数在区域内具有偏导数这两个偏导数在内都是的二元函数．如果这两个函数的偏导数也存在，则称这两个函数的偏导数为原来函数的二阶偏导数．依照对变量求导次序的不同，而有下列四个二阶偏导数：如果二阶偏导数也具有偏导数，则称为原来
4、函数的三阶偏导数．一般地，函数的阶偏导数的偏导数称为函数的阶偏导数．二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数（higher-orderpartialderivatives）．例4-15设求和解:在这个例子中这不是偶然的．事实上，我们有下述定理．定理4-1如果函数的两个二阶偏导数和在区域内连续，则在内有例4-16验证函数满足方程证由，得同理故四、全微分对于二元函数，如果自变量和分别有有改变量和时，对应的函数的改变量叫做函数的全增量．例4-17已知矩形的边长为与，当边长与分别由变为时研究矩形面积的全增量表达式．解矩形面积为
5、于是矩形面积的全增量为矩形面积的全增量由两部分组成，第一部分是的线性函数；第二部分，当时，是比高阶的无穷小．因此，当都足够小时，全增量可由近似表示，此式中的系数恰是函数在点处分别对的
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