常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解析 专题17 异面直线所成的角的求法

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1、第17讲：异面直线所成的角的求法【考纲要求】能用向量方法解决直线与直线的夹角的计算问题。【基础知识】一、异面直线的定义的方向向量。四、求异面直线所成的角体现的是数学的转化的思想，就是把空间的角转化为平面的角，再利用解三角形的知识解答。五、温馨提示如果你解三角形得到的角的余弦是一个负值，如，你不能说两条异面直线所成的角为，你应该说两条异面直线所成的角为，因为两条异面直线所成的角的范围为。例1在正四棱柱中，，为的中点．P（1）求直线AC与平面ABP所成的角；（2）求异面直线AC与BP所成的角；（3）求点B到平面APC的距离．解：解（1）∵A

2、B⊥平面BC1，PC平面BC1，∴AB⊥PC在矩形BCC1B1中，BC=2，BB1=1，P为B1C1的中点，∴PC⊥PB∴PC⊥平面ABP，∴∠CAP为直线AC与平面ABP所成的角∵PC=，AC=，∴在Rt△APC中，∠CAP=300∴直线AC与平面ABP所成的角为300（2）取A1D1中点Q，连结AQ、CQ，在正四棱柱中，有AQ∥BP，∴∠CAQ为异面直线AC与BP所成的角【变式演练1】已知四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°,PA⊥平面AC，且PA=AD=AB=1,BC=2(1)求PC的长；(2)求异面直线PC与B

3、D所成角的余弦值的大小；(3)求证：二面角B—PC—D为直二面角.[来源:学科网ZXXK]例2如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD=8.BC是⊙O的直径，AB=AC=6，OE∥AD.（1）求二面角B-AD-F的大小；（2）求直线BD与EF所成的角的余弦值.解（1）∵AD与两圆所在的平面均垂直，∴AD⊥AB，AD⊥AF，故∠BAF是二面角B—AD—F的平面角.依题意可知，四边形ABFC是正方形，∴∠BAF=45°.[来源:学.科.网Z.X.X.K]即二面角B—AD—F的大小为45°

4、;（2）以O为原点，CB、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，-3，0），B（3，0，0），D（0，-3，8），E（0，0，8），F（0，3，0），∴=（-3，-3，8），=（0，3，-8）.cos〈,〉=设异面直线BD与EF所成角为，则cos=

5、cos〈〉

6、=.即直线BD与EF所成的角的余弦值为.【变式演练2】如图所示，已知点P在正方体ABCD—A′B′C′D′对角线BD′上,∠PDA=60°(1)求DP与CC′所成角的大小;(2)求DP与平面AA′D′D所

7、成角的大小.[来源:Z

8、xx

9、k.Com]【高考精选传真】1.【2012高考真题陕西理5】如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，则直线与直线夹角的余弦值为（）A.B.C.D.2.【2012高考真题全国卷理16】三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1=CAA1=60°则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________.3．（2012高考真题上海理19）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2，AD=2，PA=2.求：（1）三角形PCD的面积；

10、（6分）（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.（6分）ABCDPEF，q=.由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是[解法二]取PB中点F，连接EF、AF，则EF∥BC，从而∠AEF（或其补角）是异面直线[来源:学科网]BC与AE所成的角……8分在中，由EF=、AF=、AE=2知是等腰直角三角形，所以∠AEF=.因此异面直线BC与AE所成的角的大小是【反馈训练】1．四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD=2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角等于（　　）A．30°B．45°C．60°D．90°2.ABCD—A1B

11、1C1D1为正方体,点P在线段A1C1上运动,异面直线BP与AD1所成的角为θ,则θ的范围为()A.(0,)B.(0,］C.(0,)D.(0,］3.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是()A.B.C.D.4.直三棱柱A1B1C1—ABC，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（　　）A．B．C．D．[来源:学,科,网Z,X,X,K]5已知四边形ABCD为直角梯形，

12、AD∥BC，∠ABC=90°,PA⊥平面AC，且PA=AD=AB=1,BC=2(1)求PC的长；(2)求异面直线PC与BD所成角的余弦值的大小；(3)求证二面角B—PC—D为直二面角7一副三角板拼成一个四边