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1、。圆锥曲线与参数的范围四川省大英县育才中学秦增林圆锥曲线中，参数是一个非常重要的量。在解有关参数问题时，往往涉及求参数的范围，深刻理解与掌握参数的意义及其对圆锥曲线的图象的形状、性质的影响，是高中数学教与学的一个难点问题。本文就怎样求参数的范围，归纳几种较为典型的类型。一、根据直线与圆锥曲线的公共点的情况，利用法求参数的范围这是圆锥曲线中求范围的一种常规思路，通过直线与圆锥曲线消元得到一个类一元二次方程（需确定二项式系数是否为0），利用法求参数的范围例：若抛物线y=x2上存在关于直线y=m(x-3
2、)对称的两点，求实数m的取值范围。解：设直线l：y1xb，直线l与抛物线y=x2的两交点为A（x1,y1）、B（x2,y2）,m由y1b消元得mx2mxmb0yx2∴Δ=1+4m2b＞0，且x0x1x21，y01(1)b1b22mm2m2m21，1b），又点M在直线y=m(x-3)上，则线段AB的中点M（2m22m∴12b=m(1-3)即b=12-3m12m2m2m121）由=1+4m2b＞0得=1+4m2﹒（-3m=12m32m21＞02m22∴32m21＜0即(2m1)(6m22m1)＜012
3、m解得实数m的取值范围为(,1)2二、利用a、b、c的大小关系求参数的范围在圆锥曲线中，对于a、b、c大小关系有规定，若能建立参数与这三个量之间的关系，则可求出参数的范围。-可编辑修改-。x2y21（a＞b＞0）的短轴位于x轴下方的端点，过A作斜率为1例：如图，点A是椭圆C：b2a2的直线交椭圆于B点，P点在y轴上，且BP∥x轴，ABAP9,若P的坐标为0,t，求t的取值范围。解：法一、由P的坐标为0,t及A点位于x轴下方，得A点的坐标为0,t3∴t3b即b3t显然B点的坐标是3,t，代入椭圆的方
4、程得9(3t21，解得a23(3t)2a2t)232t∵a2＞b2＞0，∴3(3t)2＞(3t)2＞032t∴3＞1，即3-1=2t＞032t2t32t3∴2t(32t)＞0从而0＜t＜32法二、设直线AB的方程为y=x-b，代入椭圆的方程消去y得：(a2b2)x22a2bx0∴x=0或x2a2ba2b2由直线AB的方程可知，t=x-b=2a2b-b=b(a2b2)a2b2a2b2又∵t-（-b）=3∴t=3-b∴3-bb(a2b2)，∴a23b2＞b2＞0a2b22b3解得3＜b＜3，即3＜3-
5、t＜3yPBOxA22∴t的取值范围是0＜t＜32评析：由
6、AP
7、=3，结合图形分析出
8、OA
9、=2，即b=3，以及分析出B点的坐标为（3，1）是本题的关键，在求出a与t的关系进而求出t的范围是，注意条件a＞b的应用至关重要。三、利用解析式中x、y自身的范围求参数的范围-可编辑修改-。在各类圆锥曲线中，对于x、yx2y21中，x≤a、y≤b，自身就有一定的范围，如在椭圆2b2a在解题时，只须想法找到参数与它们的关系则可求到其范围。例：一条斜率为1的直线m与离心率为3的双曲线E：x2y21（a>0
10、，b>0）交于P、Q，a2b2直线m交y轴于R，且OPOQ3，PR3RQ1、求双曲线的方程2、若F为双曲线E的右焦点，M、N分别为双曲线E上的两点，且MFFN，求λ的范围。解：1、易得双曲线的方程为x2y2122、∵E（3，0），设Mx3,y3，Nx4,y4，由MFFN得x331x4，由M、N在双曲线上，则y3y42x42y42222312x4y42∴21131x4∵0，1∴x421∵
11、x
12、≥1∴21≥133从而≤23或≥32练：已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2=60o
13、，求椭圆的离心率的取值范围。1答案：[，1)2四、利用已知条件中给出的某些量的范围求参数的范围关键是想法求得参数与已知量之间的关系，然后利用已知量的范围进一步求参数的范围。x2y21（a>b>0）与直线xy10相交于A、B两点，且OA⊥OB(O为坐标原例：椭圆2b2a-可编辑修改-。点)，若椭圆的长轴长的取值范围是[5，6]，求椭圆离心率的取值范围。xy10消去y，并整理得(a2b2)x22a2xa2(1b2)0解：由方程组x2y21a2b2由直线与椭圆有两个交点，则=4a2b2(a2+b2-1)
14、﹥0故有a2+b2﹥1。设A、B两点的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）,则有x1+x2=2a22，x1x2=a2(1b2)⋯⋯⋯⋯⋯①2ba2b2a再由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0⋯⋯⋯⋯⋯②而A、B在直线上，故y1=1-x1y2=1-x2⋯⋯⋯⋯⋯③将③代入②消去y1、y2，再代入①化简得2a22a2b22a2a2b20，从而a2b22a2b2⋯⋯⋯⋯④又∵ec，则e2c2a2b2，即a2e2a2b2⋯⋯⋯⋯⑤aa2a2由④⑤消去b2并整理得a2e22。2e22由5
