圆锥曲线中的参数范围问题.pdf

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1、中学数学教学参考232003年第3期竞赛园地圆锥曲线中的参数范围问题西安市第四十八中学焦　宇(本讲适合高中)22x+y=5,3由得x=±.圆锥曲线中求参数范围问题,是解析几何与函数、4x2+9y2=36,5不等式、方程、三角等知识交叉、渗透的综合性问题,具∴所求P点横坐标的取值范围是有考查综合能力的功能,因而成为竞赛命题的热点.33-

2、=.由椭圆对称性,只需考12x0+5x0-5根据含参数方程表示曲线的几何特征,数形结合虑P点在x轴上方,即y0>0的情形.由tan∠F1PF2确定参数范围.(2)方程法kPF2-kPF125y022=<0,即22<0,得x0+y0<1+kPF·kPFx0+y0-5根据直线与圆锥曲线的位置关系,构造含参数的2122方程,转化为根的分布问题求解.5.结合x0+y0=1可得-3

3、含参数的不等式(如定比分点性质,圆、椭坐标来表示的,故可用焦半径公式解决,设P(x0,y0),圆、双曲线的范围,判别式,已知参数的范围,三角函数55的有界性等),将问题转化为求解不等式.∴

4、PF1

5、=3+x0,

6、PF2

7、=3-x0.33(4)函数法222∵∠F1PF2为钝角,∴

8、PF1

9、+

10、PF2

11、<

12、F1F2

13、.根据圆锥曲线的几何性质及直线与圆锥曲线的位52522置关系构造关于参数的函数关系,将问题转化为求函即(3+3x0)+(3-3x0)<(25).数的值域.33∴-

14、线的两焦点或顶点与曲线上的点可以构成关于x的不等式.建立不等式的方法是多样的,从不三角形,因而可以利用三角形两边之和大于第三边及同角度看待“钝角”,就会得到不同的解法,这正是解析正、余弦定理等建立不等关系.22几何的特征.xy例1　椭圆+=1的焦点为F1、F2,点P为2294例2在平面直角坐标系中,若方程m(x+y+其上的动点,当∠F1PF2为钝角时,点P的横坐标的2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲线是椭圆,则m的取取值范围是.值范围是().导析1:考察当P点运动A.(0,1)B.(1,+∞)时∠F1PF2的变化:0°→90°→C.(0,5

15、)D.(5,+∞)0°,抓住特殊角90°,容易联想(1997年全国高中数学联赛题)到直径所对的圆周角为直角,导析:若将方程设法变为标准形式,运算太麻烦,从而构造以

16、F1F2

17、为直径的而且容易出错.已知方程可化为圆,则P点应在该圆内部(如图x2+(y+1)25=,1).

18、x-2y+3

19、m221+(-2)©1995-2007TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.中学数学教学参考24竞赛园地2003年第3期上式表示动点(x,y)到定点(0,1)的距离与到定2x2例5设双曲线C1:2+

20、y=1(a为正常数)与a5直线x-2y+3=0的距离的比为常数.由椭圆C2m2:y=2(x+m)在x轴上方仅有一个公共点,求实5数m的取值范围(用a表示).第二定义,得<1,则m>5.故选D.m(2001年全国高中数学联赛题)说明:巧妙利用曲线定义求参数的取值范围,不但导析:可将曲线C1与C2的公共点的个数问题转避免了复杂运算而且优化了解题过程.化为研究它们的方程组成的方程组解的个数问题.222例3若椭圆x+4(y-a)=4与抛物线x=2x22y有公共点,则实数a的取值范围是.a2+y=1,由　得(1998年全国高中数学联赛题)2y=2(x+m

21、),导析:可考虑将两曲线有公共点转化为它们的方x2+2a2x+2a2m-a2=0.①程组成的方程组有实数解.根据问题的特点,可选用椭问题转化为方程①在区间(-a,a)上有惟一解或x=2cosθ,两个相等的实根.圆的参数方程(θ为参数).y=a+sinθ2222设f(x)=x+2ax+2am-a.22代入x=2y,得4cosθ=2(a+sinθ).a2+1222当Δ=0,即m=2时,xP=-a.由-a<分离出a=2cosθ-sinθ=2-2sinθ-sinθ2-a

22、)·f(a)<0,即-a