圆锥曲线中的范围问题

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1、http://www.mathschina.com彰显数学魅力！演绎网站传奇！圆锥曲线中的范围问题在圆锥曲线的问题中，有不少求范围的问题。例如在已知的条件下，求椭圆的离心率范围，或者求题目中某参数的范围。遇到这一类问题时，很多学生感到很茫然，不知道如何寻找突破口，因而就难以找到合适的解法。本文就是探究这类问题的一般解法。例1:已知直线与椭圆相交于两点，且在椭圆上存在两点关于直线对称，求m的范围。（分析:要求m的范围,关键是要得出一个关于m的不等式，因此问题的根本在于如何得到一个符合要求的不等式，由于这是一个直线和椭圆相交的问题，我们想到可以先设出

2、椭圆上关于直线对称的两个点的坐标，利用“点差法”求出中点坐标，再设法的出不等式。）解:设椭圆上存在两点和关于直线对称.A、B在椭圆上，则有　　　　　　　　……①　　　　　　　　……②　①—②得到：即……③由于A、B关于直线对称，则有直线AB中点在直线上且两直线互相垂直，于是有，再设AB中点，根据中点坐标公式。③式可化为即……④再根据P点在直线上，得到……⑤可得，由于AB是椭圆上的点，所以AB中点应该在椭圆内，因此有这就得到关于参数m的不等式学数学用专页第3页共3页版权所有少智报·数学专页http://www.mathschina.com彰显数学魅

3、力！演绎网站传奇！得到解题过程中可以发现，这一类问题的解决关键在于求出某个关键点的坐标（用参数表示），再利用该点坐标的位置得出不等式，解出不等式就可以得到参数的范围。例2：设椭圆的左顶点上为A若椭圆上存在一点P，使∠OPA=90°(O为原点)，求椭圆的离心率范围。（分析：首先当然是要设出P点的坐标，再设法根据条件将P点的坐标用含a,b,c的式子表达，根据P是椭圆上一点，结合图象，得出不等式，即可求出离心率的范围。）解:设P点坐标是，根据题意可知：A点坐标为∵OP⊥AP∴P点在以OA为直径的圆上将椭圆方程与圆的方程联立　　　　可解得（舍去）　即P点

4、横坐标为，根据图形可知P点横坐标，即　再将及代入可解得，又∵∴观察上面两个例题的解法，可以发现一个共同点，这一类求范围的问题，其不等式的得出都是通过求某点的坐标，再利用该点的位置，得出坐标的范围,这就是解决这类问题的一般解法。例3：椭圆的两焦点，长轴端点，若椭圆上存在一点，使∠，求椭圆离心率的范围。学数学用专页第3页共3页版权所有少智报·数学专页http://www.mathschina.com彰显数学魅力！演绎网站传奇！（分析：参考上两例题的解法，我们可以想到解题思路，就是求出点横纵坐标之一，利用该点在椭圆上，得出不等式，因此问题的关键在于如何

5、利用条件“∠”我们想到“到角公式”）解：设Q点坐标为，根据题意可知：点坐标为，点坐标为于是有直线的斜率，直线的斜率……①∵是椭圆上一点∴……②　　变形为……③　　③代入①得到化简可求得∵Q是椭圆上一点，因此满足，即化简得到平方并将代入解得或（舍去）又∵∴从以上例题我们可以得出此类题型的一般性解法，就是先设法求出题中某个关键点的坐标，然后再结合图形观察该点的位置有何特殊性，根据该点的位置关系得出包含我们所要求的参数的不等式，最后解出不等式就得到参数的范围。如果我们所选取的关键点在椭圆上，我们就只需求出该点横纵坐标的一个就可以列出不等式（如例2，例3

6、），如果我们选取的关键点在椭圆内，那么我们就不能只求某一个坐标，而应该把该点的横纵坐标都求出来，再得出不等式（如例1）。而在求离心率范围的问题中，我们往往只求出其范围的一部分，这就要求还需注意一个大的前提：椭圆的离心率，双曲线的离心率。学数学用专页第3页共3页版权所有少智报·数学专页