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《2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.4.3.3余弦定理正弦定理应用举例_距离问题同步练习含解析新人教A版必修第二册.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高考课时素养评价十三余弦定理、正弦定理应用举例——距离问题(15分钟 30分)1.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O,两船航行方向的夹角为120°,两船的航行速度分别为25nmile/h,15nmile/h,则14时两船之间的距离是( )A.50nmileB.70nmileC.90nmileD.110nmile【解析】选B.到14时,轮船A和轮船B分别走了50nmile,30nmile,由余弦定理得两船之间的距离为l==70(nmile).【补偿训练】已知A、B两地的距离为10km,B、C两地的距离为20k
2、m,现测得∠ABC=120°,则A、C两地的距离为( )A.10kmB.kmC.10kmD.10km【解析】选D.在△ABC中,AB=10km,BC=20km,∠ABC=120°,则由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=100+400-2×10×20cos120°=100+400-2×10×20×=700,所以AC=10km,即A、C两地的距离为10km.2.如图所示为起重机装置示意图.支杆BC=10m,吊杆AC=15m,吊索AB=5m,起吊的货物与岸的距离AD为( )-13-/13
3、高考A.30mB.mC.15mD.45m【解析】选B.在△ABC中,cos∠ABC==,∠ABC∈(0,π),所以sin∠ABC==,所以在Rt△ABD中,AD=AB·sin∠ABC=5×=(m).3.已知A船在灯塔C北偏东80°,且A到C的距离为2km,B船在灯塔C北偏西40°,A,B两船的距离为3km,则B到C的距离为. 【解析】如图所示,在△ABC中,∠ACB=40°+80°=120°,AB=3km,AC=2km.设BC=akm.由余弦定理的推论,得cos∠ACB=,-13-/13高考即cos120°=,解得
4、a=-1或a=--1(舍去),即B到C的距离为a=(-1)千米.答案:(-1)千米4.有一个长为1千米的斜坡,它的倾斜角为75°,现要将其倾斜角改为30°,则坡底要伸长千米. 【解析】如图,∠BAO=75°,C=30°,AB=1千米,所以∠ABC=∠BAO-∠BCA=75°-30°=45°.在△ABC中,=,所以AC===(千米).答案:5.如图,甲船以每小时30海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A1处时,乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处,此时两船相距20海里,当甲船航行20分钟到
5、达A2处时,乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处,此时两船相距10海里.问:乙船每小时航行多少海里?【解析】如图,-13-/13高考连接A1B2,由已知A2B2=10海里,A1A2=30×=10(海里),所以A1A2=A2B2.又∠A1A2B2=60°,所以△A1A2B2是等边三角形,所以A1B2=A1A2=10海里.由已知,A1B1=20海里,∠B1A1B2=180°-75°-60°=45°,在△A1B2B1中,由余弦定理得B1=A1+A1-2A1B1·A1B2·cos45°=202+(10)2-2×20×1
6、0×=200,所以B1B2=10海里.因此,乙船的速度为×60=30(海里/时).所以乙船每小时航行30海里.(30分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.某人从A处出发,沿北偏东60°行走3km到B处,再沿正东方向行走2km到C处,则A,C两地的距离为( )A.4kmB.6kmC.7kmD.9km【解析】选C.如图所示,由题意可知-13-/13高考AB=3km,BC=2km,∠ABC=150°,由余弦定理得AC2=27+4-2×3×2×cos150°=49,所以AC=7km,所以A,C两地的距离为7
7、km.2.一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距灯塔68海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度为( )A.海里/小时B.34海里/小时C.海里/小时D.34海里/小时【解析】选A.如图所示,在△PMN中,=.所以MN==34(海里),所以v==(海里/小时).3.已知甲船位于小岛A的南偏西30°的B处,乙船位于小岛A处,AB=20千米,甲船沿的方向以每小时6千米的速度行驶,同时乙船以每小时8千米的速度沿正东方向行驶,当甲、乙两船相距最近时,他们行驶的时间为(
8、 )A.小时B.小时C.小时D.小时-13-/13高考【解析】选C.设当甲、乙两船相距最近时,他们行驶的时间为t小时,此时甲船位于C处,乙船位于D处,则AC=(20-6t)千米,AD=8t千米,由余弦定理可得,CD2=(20-6t)2+(8t)2-2(20-6t)8tcos120°=52t2-80t+400,故当CD取最小值时,t=.4.如图,某炮兵阵地位于
