资源描述：
《2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.4.3.3余弦定理正弦定理应用举例_距离问题课时素养检测含解析新人教A版必修第二册202101291170.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、课时素养检测十三 余弦定理、正弦定理应用举例——距离问题(30分钟 60分)一、选择题(每小题4分,共24分)1.如图,为了测量隧道口AB的长度,给定下列四组数据,计算时应当用数据( )A.α,a,bB.α,β,aC.a,b,γD.α,β,b【解析】选C.由A与B不可到达,故不易测量α,β,所以计算时应当用数据a,b,γ.2.如图所示,要测量一水塘两侧A,B两点间的距离,其方法先选定适当的位置C,用经纬仪测出角α,再分别测出AC,BC的长b,a,则可求出A,B两点间的距离.若测得CA=400m,CB=600m,∠ACB=60°,则AB的长为(
2、)A.200mB.200mC.200mD.500m【解析】选C.在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB,所以AB2=4002+6002-2×400×600cos60°=280000,所以AB=200(m),即A,B两点间的距离为200m.3.海上有A,B两个小岛相距10海里,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视角,则B,C间的距离是( )A.10海里B.5海里C.5海里D.5海里【解析】选C.在△ABC中,A=60°,B=75°,∠C=180°-60°-75°=45°,根据正弦定理
3、得,得=,解得BC=5.4.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O,两船航行方向的夹角为120°,两船的航行速度分别为25nmile/h,15nmile/h,则14时两船之间的距离是( )A.50nmile B.70nmileC.90nmileD.110nmile【解析】选B.到14时,轮船A和轮船B分别走了50nmile,30nmile,由余弦定理得两船之间的距离为l==70nmile.5.一船以每小时15km的速度向东行驶,船在A处看到一灯塔B在北偏东60°,行驶4小时后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15°,这时船与灯塔的距
4、离为( )A.60kmB.60kmC.30kmD.30km【解析】选A.画出图形如图所示,在△ABC中,∠BAC=30°,AC=4×15=60,∠B=45°,由正弦定理得=,所以BC===60,所以船与灯塔的距离为60km.6.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为( )A.akmB.akmC.akmD.2akm【解析】选B.如图,在△ABC中,AC=BC=akm,∠ACB=180°-(20°+40°)=120°,所以AB===a(km).二、
5、填空题(每小题4分,共8分)7.如图,为了测定河的宽度,在一岸边选定两点A,B,望对岸标记物C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120m,则河的宽度为________. 【解析】在△ABC中,AB=120m,A=30°,B=75°,则C=180°-A-B=75°,所以AC=AB=120m,则河的宽度为ACsin30°=60m.答案:60m8.江岸边有一炮台高30米,江中有两条船,从炮台顶部测得俯角分别为45°和30°,而且两条船与炮台底部连线成30°角,则两条船相距________米. 【解析】如图,过炮台顶部A作水平面的垂线,垂足为
6、B,设A处观测小船C的俯角为45°,设A处观测小船D的俯角为30°,连接BC,BD.在Rt△ABC中,∠ACB=45°,可得BC=AB=30米,Rt△ABD中,∠ADB=30°,可得BD=AB=30米,在△BCD中,BC=30米,BD=30米,∠CBD=30°,由余弦定理可得CD2=BC2+BD2-2BC·BDcos30°=900,所以CD=30米(负值舍去).答案:30三、解答题(每小题14分,共28分)9.要测量对岸两点A,B之间的距离,选取相距km的C,D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,求A
7、,B之间的距离.【解析】在△ACD中,∠ACD=120°,∠CAD=∠ADC=30°,所以AC=CD=(km).在△BCD中,∠BCD=45°,∠BDC=75°,∠CBD=60°.所以BC==(km).△ABC中,由余弦定理,得AB2=()2+-2××cos75°=3+2+-=5,所以AB=(km).所以A,B之间的距离为km.10.甲船自某港出发时,乙船在离港7海里的海上驶向该港,已知两船的航向成120°角,甲、乙两船航速之比为2∶1,求两船间距离最短时,各离该海港多远?【解析】如图所示,甲船由A港沿AE方向行驶,乙船由D处向A港行驶,显然∠EA
8、D=60°.设乙船航行到B处行驶了s海里,此时A船行驶到C处,则AB=7-s,AC=2s,而∠EAD=60°,由余弦定理,
