2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.4.3第3课时余弦定理正弦定理应用举例练习含解析新人教A版必修第二册.doc

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1、第六章　6.4　6.4.3　第3课时A级——基础过关练1．某观察站C与两灯塔A，B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C的北偏东30°方向上，灯塔B在观察站C的正西方向上，则两灯塔A，B间的距离为(　　)A．500米　　　B．600米C．700米　　D．800米【答案】C　【解析】由题意，在△ABC中，AC＝300米，BC＝500米，∠ACB＝120°.利用余弦定理可得AB2＝3002＋5002－2×300×500×cos120°，所以AB＝700米．故选C．2．(2020年衡水期中)在△ABC中，a，b，c分别是三内角A，B

2、，C的对边，若满足条件c＝4，∠B＝60°的三角形的解有两个，则b的长度范围是(　　)A．(0,2)　　B．(2,4)C．(2，4)　　D．(4，＋∞)【答案】C　【解析】因为满足条件c＝4，∠B＝60°的三角形的解有两个，所以csinB＜b＜c，即2

3、的面积是【答案】BC　【解析】∵(a＋b)∶(c＋a)∶(b＋c)＝6∶5∶4，∴设a＋b＝6k，c＋a＝5k，b＋c＝4k(k＞0)，得a＝k，b＝k，c＝k，则a∶b∶c＝7∶5∶3，则sinA∶sinB∶sinC＝7∶5∶3，故C正确．由于三角形ABC的边长不确定，则三角形不确定，故A错误．cosA＝＝＝－＜0，则A是钝角，即△ABC是钝角三角形，故B正确．若b＋c＝8，则k＋k＝4k＝8，则k＝2，即b＝5，c＝3，A＝120°，∴△ABC的面积S＝bcsinA＝×5×3×＝，故D错误．故选BC．4．在地面上点D处，测量某建筑物的高

4、度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20m，则建筑物高度为(　　)A．20m　　　B．30mC．40m　　　D．60m【答案】C　【解析】如图，设O为顶端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，在△ABD中，易知∠A＝30°，∠ADB＝60°－30°＝30°，∴△ABD为等腰三角形，即AB＝BD＝40(m)．5．(2020年让胡路区校级月考)在△ABC中，D为BC边上的一点，满足BD＝33，sinB＝，cos∠ADC＝，则AD的长为(　　)A．30　　B．35

5、　　C．20　　D．25【答案】D　【解析】由cos∠ADC＝＞0，则∠ADC＜，又由已知D为BC边上的一点，得B＜∠ADC，得B＜，由sinB＝，得cosB＝＝.同理由cos∠ADC＝，得sin∠ADC＝.则sin∠BAD＝sin(∠ADC－B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝×－×＝.由正弦定理＝，得AD＝×sinB＝＝25.故选D．6．有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75°，现要将其倾斜角改为30°，则坡底要伸长________千米．【答案】　【解析】如图，∠BAO＝75°，∠C＝30°，AB＝1，∴∠ABC＝∠

6、BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°.在△ABC中，由正弦定理，得＝，∴AC＝＝＝(千米)．7．如图所示，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为________km.【答案】　【解析】在△ABC中，易得A＝30°，由正弦定理＝，得AB＝＝2×1×＝(km)．8．一艘船以4km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2km/h，则经过h，该船实际航程为________km.【答案】6　【解析】如图所示，在△ACD中

7、，AC＝2，CD＝4，∠ACD＝60°，∴AD2＝12＋48－2×2×4×＝36.∴AD＝6.即该船实际航程为6km.9．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cosB＝，b＝2.(1)当A＝时，求a的值；(2)若△ABC的面积为3，求a＋c的值．解：(1)因为cosB＝>0，所以B∈.所以sinB＝.由正弦定理＝，得＝，解得a＝.(2)由△ABC的面积S＝acsinB，得ac×＝3，得ac＝10.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得4＝a2＋c2－ac＝a2＋c2－16，即a2＋c2＝20，所以(a＋c)2－2a

8、c＝20，即(a＋c)2＝40.所以a＋c＝2.10．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，求两条船之