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《2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.4.3.4余弦定理正弦定理应用举例_高度角度问题课时素养检测含解析新人教A版必修第二册202101291171.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、课时素养检测十四 余弦定理、正弦定理应用举例——高度、角度问题(30分钟 60分)一、选择题(每小题4分,共24分)1.若点A在点C的北偏东30°,点B在点C的南偏东60°,且AC=BC,则点A在点B的( )A.北偏东15°B.北偏西15°C.北偏东10°D.北偏西10°【解析】选B.如图所示,∠ACB=90°.又AC=BC,所以∠CBA=45°,而β=30°,所以α=90°-45°-30°=15°,所以点A在点B的北偏西15°.2.如图所示,为测一树的高度,在地上选取A,B两点,从A,B两点分别测得望树尖的仰角
2、为30°,45°,且A,B两点之间的距离为60m,则树的高度为( )A.(30+30)mB.(30+15)mC.(15+30)mD.(15+3)m【解析】选A.设树高为xm,则BP=xm.在△ABP中,AB=60,BP=x,∠A=30°,∠APB=15°.由正弦定理得=,即=,解得x=30(1+).3.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45°,在D点测得塔顶A的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=40m,则电视塔的高度为( )A.10m.20mC.20m.40m【
3、解析】选D.设AB=xm,则BC=xm,BD=xm,在△BCD中,由余弦定理,得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos120°,所以x2-20x-800=0,所以x=40(m).4.如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60°,再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D,测得∠BDC=45°,则塔AB的高是( )A.5mB.10mC.5mD.10m【解题指南】在△BCD中,由正弦定理求出BC⇒在Rt△ABC中求得AB.【解析】选B.在△BCD中,CD=10
4、,∠BDC=45°,∠BCD=15°+90°=105°,∠DBC=30°,由正弦定理,得=,BC==10.在Rt△ABC中,tan60°=,AB=BCtan60°=10(m).5.飞机沿水平方向飞行,在A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°,向前飞行10000m到达B处,此时测得正前下方目标C的俯角为75°,这时飞机与地面目标的水平距离为( )A.2500(-1)mB.5000mC.4000mD.4000m【解析】选A.如图,∠BAC=30°,∠DBC=75°,AB=10000,所以∠ACB=45°.由正弦定理
5、,得=,又cos75°=,所以BD=·cos75°=2500(-1)(m).6.如图,为测量出山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点,从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°,从C点测得∠MCA=60°,已知山高BC=100m,则山高MN为( )A.100mB.150mC.200mD.250m【解析】选B.在Rt△ABC中,∠CAB=45°,BC=100m,所以AC=100m.在△AMC中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,从而∠AMC=45°由正弦定理得=,
6、因此,AM=100m.在Rt△MNA中,AM=100m,∠MAN=60°,由=sin60°,得MN=100×=150m.二、填空题(每小题4分,共8分)7.在高出海平面200m的小岛顶上A处,测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45°与30°,此时两船间的距离为__________m. 【解析】过点A作AH⊥BC于点H,由图易知∠BAH=45°,∠CAH=60°,AH=200m,则BH=AH=200m,CH=AH·tan60°=200m.故两船距离BC=BH+CH=200(+1)m.答案:200(+1)8.甲船
7、在岛A的正南B处,以4km/h的速度向正北航行,AB=10km,同时乙船自岛A出发以6km/h的速度向北偏东60°的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间为________. 【解析】如图,当两船航行th时,甲船到D处,乙船到C处,则AD=10-4t,AC=6t,∠CAD=120°,若AD′=4t-10,AC=6t,∠CAD′=60°,所以CD2=(6t)2+(10-4t)2-2×6t×(10-4t)×=28t2-20t+100,所以当t=h时,CD2最小,即两船最近,t=h=min.答案:min【补偿
8、训练】 如图,当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距10海里的B处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往营救,同时把消息告知在甲船的南偏西30°,相距6海里的C处的乙船,乙船立即朝北偏东(θ+30°)的方向沿直线前往B处营救,则sinθ的值为________. 【解析】连接BC,由已知得AC=6,AB=10,∠BAC=120°,由余弦定理得BC2=AB2+
