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《2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.4.3.3余弦定理正弦定理应用举例_距离问题素养课件新人教A版必修第二册.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例——距离问题【知识生成】实际测量问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫_____,在水平线下方的角叫_____(如图(1)).(2)方位角指从正北方向___时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图(2)).必备知识生成仰角俯角顺(3)方向角:相对于某正方向的水平角,如北偏东45°,南偏西30°(或西偏南60°)等.(4)坡角与坡度:坡面与_______所成的二面角叫坡角,坡面的铅直高度与_________之比叫坡度如
2、图.水平面水平宽度关键能力探究探究点一 测量一个可到达点与不可到达的点之间的距离【典例1】如图,设A,B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC=60m,∠BAC=75°,∠BCA=45°,求A,B两点的距离.【思维导引】在三角形中由正弦定理计算距离.【解析】∠ABC=180°-75°-45°=60°,所以由正弦定理得,所以AB=即A,B两点间的距离为20m.【类题通法】求距离问题时应注意的两点(1)选定或确定所求量所在的三角形.若其他量已知,则直接解;
3、若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.【定向训练】如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:km):AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且∠B与∠D互补,则AC的长为__________km.【解析】在△ACD中,由余弦定理得cosD=在△ABC中,由余弦定理得cosB=又因为∠B与∠D互补,所以cosB=-cosD,即解得AC=7.答案:7探究点二 测量都不可到达的
4、两个点之间的距离【典例2】如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60m,则河流的宽度BC等于()A.30(+1)mB.120(-1)mC.180(-1)mD.240(-1)m【解析】选B.方法一:记A点正下方地面上对应的点为O,由题意可得OA=60,∠ABO=75°,∠ACO=30°,在Rt△AOB中,由=tan75°=tan(45°+30°)=得到OB=在Rt△AOC中,由=tan30°=得到OC==60,所以河流的宽度BC等于OC-OB=60-60(2
5、-)=120(-1)m.方法二:记A点正下方地面上对应的点为O,由题意可得OA=60,∠ABO=75°,∠ACO=30°,在Rt△AOB中,sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=所以AB=在△ABC中,∠BAC=45°,由正弦定理,得得BC=【类题通法】解三角形的注意事项(1)根据三角形已知的边长和角,明确要求的边长或角,灵活运用正弦定理或余弦定理计算.(2)优先运用直角三角形中的边长和角,记住特殊角的三角函数值能计算sin15°=等.【定向训练】如
6、图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶,测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°,30°,于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°,AC=0.1km试探究图中B,D间的距离与另外哪两点间的距离相等,然后求B,D的距离.(计算结果用根号表示)【解题指南】先求∠ADC与∠BCD,进而可发现CB是△CAD底边AD的中垂线,所以BD=BA;而要求BD,可利用正弦定理在△ABC中求BA即可.【解析】在△ACD中,∠DAC=30°,∠ADC=60°-∠DAC=30°
7、,所以CD=AC=0.1,又∠BCD=180°-60°-60°=60°,∠ACB=60°,故CB是△CAD底边AD的中垂线,所以BD=BA,在△ABC中,即AB=因此,BD=.故B,D的距离为km.【补偿训练】如图所示,为了测量A,B处岛屿的距离,小明在D处观测,A,B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向,再往正东方向行驶40海里至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,求A,B两处岛屿间的距离.【解题指南】先在△ACD中求出AD,再在△DCB中求出BD,然后在△ABD中由余弦定
8、理求得AB.【解析】在△ACD中,∠ADC=15°+90°=105°,∠ACD=30°,所以∠CAD=45°,由正弦定理可得:解得AD=在Rt△DCB中,∠BDC=45°,所以BD=CD=40(海里).在△ABD中,由余弦定理可得:AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB=800+3200-2×20×40×=2400,解得AB=20(海里).探究点三 有关距离的综合问题【典例3】如图,A,B是海面上位于东西方向相距5(3+)海里的
