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《2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.4.3.2正弦定理素养课件新人教A版必修第二册.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第2课时 正弦定理【情境探究】1.回顾直角三角形中,边与角的关系:是否为定值并说出理由?提示:如图,直角三角形ABC中,C=90°,c=2R,R为△ABC外接圆的半径,显然有2R(定值).必备知识生成=2.在锐角或钝角三角形中,边与角的关系:是否为定值并说出理由?提示:如图,设锐角三角形的外接圆的半径为R,直径为CD=2R,连接BD,∠A=∠D,∠CBD=90°,所以=CD=2R,同理=2R,=2R.得=2R(定值),同理,在钝角三角形中,上述等式仍然成立.【知识生成】1.正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,
2、即______=______=______=2R.(R为三角形外接圆的半径)2.正弦定理的变形公式由正弦定理,可以得到如下推论(变形公式):(1)边化角公式:a=2RsinA;b=2RsinB;c=2RsinC.(2)角化边公式:关键能力探究探究点一 利用正弦定理解三角形【典例1】(1)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,A=60°,a=4,b=4,则B=()A.B=30°或B=150°B.B=150°C.B=30°D.B=60°(2)已知△ABC中,c=6cm,A=45°,C=30°,解三角形.【思维导引】(
3、1)由正弦定理求得sinB=,根据a>b,由三角形中大边对大角可得B<60°,即可求得B.(2)由A+B+C=180°求角B,再由正弦定理求边长.【解析】(1)选C.因为A=60°,a=4,b=4,由正弦定理,得sinB=因为a>b,所以B<60°,所以B=30°.故选C.(2)由三角形内角和定理,得B=180°-(A+C)=105°,sin105°=sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=.根据正弦定理得a=【类题通法】利用正弦定理解三角形的注意事项(1)如果已知三角形的两
4、角和一边解三角形,那么通常运用正弦定理计算.(2)注意三角形中大边对大角,大角对大边的关系以及应用.提醒:注意已知三角形两边和一边的对角解三角形,三角形可能有0个解或1个解或2个解.解决此类问题通常运用数形结合法.【定向训练】1.在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则b=()【解析】选C.由三角形内角和定理,得A=180°-(B+C)=45°,根据正弦定理,得b=2.已知△ABC中,a=2,c=2,A=45°,解三角形.求B,C,b.【解析】因为a=2,c=2,A=45°,所以由正弦定理得sinC=又0°5、80°,得C=60°或C=120°.当C=60°时,B=75°,sin75°=b=当C=120°时,B=15°,sin15°=b=探究点二 利用正弦定理判断三角形的形状【典例2】在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,a=2bcosC,则△ABC的形状为()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰或直角三角形【思维导引】利用正弦定理,转化为三角形的内角的三角函数关系判断,也可以用余弦定理的变形公式转化为三边关系判断.【解析】选A.方法一:在△ABC中,a=2bcosC,由正弦定理,得2RsinA=4Rsin
6、BcosC,又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,得sinBcosC-cosBsinC=0,所以sin(B-C)=0,得B-C=0,B=C,所以b=c,所以△ABC为等腰三角形.方法二:在△ABC中,由余弦定理,得cosC=所以a=2bcosC=2b·得a2=a2+b2-c2,所以b=c,所以△ABC为等腰三角形.【类题通法】判断三角形形状的常用方法及步骤(1)方法:化边为角或化角为边.(2)步骤:第一步,将题目中的条件,利用正弦定理或余弦定理化边为角或化角为边,第二步,根据三角函数的有关知识得到三
7、个内角的关系或三边的关系,进而确定三角形的形状.【定向训练】若则△ABC是()A.等腰直角三角形B.有一内角是30°的直角三角形C.等边三角形D.有一内角是30°的等腰三角形【解析】选A.在△ABC中,则由正弦定理,得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,可得即tanB=tanC=1,所以B=C=45°,A=90°,故△ABC为等腰直角三角形.探究点三 正弦、余弦定理的综合应用【典例3】(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC
8、.(1)求A;(2)若a+b=2c,求sinC.【思维导引】(1)利用角化边,建立三角形的三边关系,再用余弦定理求cosA,最后求A.(2)利用边化角,转化为三角恒等变换求sinC,也可以先求出C角,再求sinC.【解析】(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=si
