2021届新高考数学二轮复习微专题核心考点突破15数列的递推关系与通项（解析版）.docx

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1、专题15数列的递推关系与通项【考点命题趋势分析】1专题综述数列是高中数学的重要内容，也是高等数学的基础.数列的两个重要特征量是通项an与前n项和Sn.而Sn又是数列{Sn}的通项，从这个意义上讲，Sn也是通项.通项是表示数列的重要形式，明确了通项，就清晰地把握了数列.利用递推关系求数列的通项问题，一直受到高考命题者的青睐.递推公式可以通过给出数列的第1项(或前若干项)，并给出数列的某一项与它的前一项(或前若干项)的关系式来表示数列，这种表示数列的式子叫作这个数列的递推公式.递推公式是数列所特有的表示法，它包含两个部分:一是递推关系，二是初始条件，二者缺一不可.通过近几年全国及各省

2、自主命题的高考试卷可以看出，本专题内容的试题，难度适中；本专题内容主要难点是数学情境的变化及题目条件的有效转化.需要指出的是，2017年某些省份自主命题的高考试卷中数列的“压轴题”多以函数与不等式综合为主.全国卷的解答题虽然没有出现数列的递推关系与通项的问题，但选择题的最后一题，对数列通项的考查背景较为新颖，尤其对学生的思维层次要求较高.专题复习备考中我们的做法是:以教材为基点，以辨析递推关系为主线，深度概括通项求解方法，从而有效提升学生的理性思维能力，促进学生数学核心素养水平的达成.典型例题与解题方法2范例分析2.1体验常规题的多题一解高三复习“课时紧张，任务繁重”，很多学生陷

3、入大量作业的泥潭，他们往往关注最终的结果，对于解题过程缺少关注，解题后的反思更无从谈起.教师如果能依据典型的高考试题引导学生反思，进行多题一解，会对正确选择解题方法有较为深刻的认识.例1Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0，an2+2an=4Sn+3.(I)求{an}的通项公式；(Ⅱ)设bn=1anan+1，求数列{bn}的前n项和.思路探求:本题是锻炼学生运用基础知识的典型素材.让学生先观察题目条件，回答下列4个问题:①an2+2an=4Sn+3有哪些特征量?②将条件转化为an还是Sn的等式?③依据什么知识进行转化?④27/27如何转化?在4个问题的追问中，激活学生已学习

4、的相关知识，并能准确的使用.尤其是an和Sn的关系、求和的相应方法等作为重要的基础知识，不能有漏洞.(I)由an2+2an=4Sn+3，①可得an+12+2an+1=4Sn+1+3②①－②得an+an+1an+1-an-2=0.又因为an>0，所以an+1-an=2.当n=1时，a12+2a1=4S1+3，即a12-2a1-3=0，解得a1=3或a1=－1(舍去)，所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an=2n+1.(Ⅱ)由an=2n+1可得bn=1anan+1=1(2n+1)(2n+3)=1212n+1-12n+3.记数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn=b1

5、+b2+⋯+bn=1213-15+15-17+17-19+⋯+12n+1-12n+3=1213-12n+3=n3(2n+3).有的学生会由题目条件得到an-12+2an-1=4Sn-1+3，也可以解答问题得到an-an-1=2，此时注意n≥2，同样可以得到{an}是首项为3，公差为2的等差数列.解题完成后，教师可给出不同的题目.解答类似的问题时，仍然辅以例1中谈及的4个问题追问，让学生在不同情境中感受完备知识的运用，并重点思考将条件转化为Sn的等式的依据.通过形异质同的不同题目的解答感受解题中的思维相通之处，提升理性思维能力，有效促进学生数学核心素养水平的达成.2.2整合认识辅助

6、数列方法解决的各类递推关系引入辅助数列，借助转化与化归的思想，巧妙地使得一些复杂的数列转换为常见的等差数列、等比数列，或把递推关系进一步变得简单明了，从而达到化难为易、化繁为简的目的，以求得数列的通项公式.例2已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1.证明:an+12是等比数列，并求{an}的通项公式.思路探求:从题目的求证入手思考，数列an+12的第n项是什么?第n+1项是什么?题目条件中有无与an+12和an+1+1227/27关联的递推关系?容易想到应该对an+1=3an+1进行变换，变换的目的就是要出现an+12与an+1+12.于是容易想到在等式an+1=3a

7、n+1两边同时加12，得到an+1+12=3an+32，即an+1+12=3an+12，从而解得an=3n-12.如果直接从例2的问题入手证明行吗?也就是说证明an+1+12an+12=常数，能行得通吗?这由等比数列的定义容易想到.学生到此应该对求数列通项公式的方法进行总结和概括:如果将an+1=3an+1推广为一般形式an+1=can+d呢?如果是aan+1+can+d=0呢?另外，还有其他的方法吗?能否代入计算得出a1+12,a2+12,a3+12后，进行归纳猜想证明?哪种方