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《高考数学二轮核心考点突破：专题19-数列通项与求和问题（含答案）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、专题19数列通项与求和问题【自主热身,归纳提炼】1.等比数列的各项均为实数,其前项和为,已知,,则.【答案】【解析】由于,故,而,故,则.2.对于数列{an},定义数列{bn}满足bn＝an＋1－an(n∈N*),且bn＋1－bn＝1(n∈N*),a3＝1,a4＝－1,则a1＝________.【答案】8 【解析】:因为b3＝a4－a3＝－1－1＝－2,所以b2＝a3－a2＝b3－1＝－3,所以b1＝a2－a1＝b2－1＝－4,三式相加可得a4－a1＝－9,所以a1＝a4＋9＝8.3.设公比不为1的
2、等比数列{an}满足a1a2a3＝－,且a2,a4,a3成等差数列,则数列{an}的前4项和为________．【答案】: 解后反思本题主要考查等差中项和等比中项的性质及应用,体现了等差数列和等比数列的基本量的计算问题中的方程思想,等比数列的求和要注意公比是否为1.:4.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2＝2a2＋3,S3＝2a3＋3,则公比q的值为________．【答案】:.2 当q＝1时,显然不满足题意;当q≠1时,整理得解得q＝2.高考数学5.记公比为正数的等比数列{an}的前n项
3、和为Sn.若a1＝1,S4－5S2＝0,则S5的值为________．【答案】:31【解析】:设公比为q,且q＞0,又a1＝1,则an＝qn－1.由S4－5S2＝0,得(1＋q2)S2＝5S2,所以q＝2,所以S5＝＝31.解后反思利用S4＝(1＋q2)S2,可加快计算速度,甚至可以心算．6.设数列的前项和为,若,则数列的通项公式为．【答案】:7.已知数列{an}满足a1＝－1,a2>a1,
4、an＋1－an
5、＝2n(n∈N*),若数列{a2n－1}单调递减,数列{a2n}单调递增,则数列{an}的通
6、项公式为an＝________.【答案】 【解析】:因为
7、an＋1－an
8、＝2n,所以当n＝1时,
9、a2－a1
10、＝2.由a2>a1,a1＝－1得a2＝1.当n＝2时,
11、a3－a2
12、＝4,得a3＝－3或a3＝5.因为{a2n－1}单调递减,所以a3＝－3.当n＝3时,
13、a4－a3
14、＝8,得a4＝5或a4＝－11.因为{a2n}单调递增,所以a4＝5.同理得a5＝－11,a6＝21.因为{a2n－1}单调递减,a1＝－1<0,所以a2n－1<0.同理a2n>0.所以当n为奇数时(n≥3),有an－an－
15、1＝－2n－1,an－1－an－2＝2n－2.两式相加得an－an－2＝－2n－2.那么a3－a1＝－2;a5－a3＝－23;…;an－an－2＝－2n－2.以上各式相加得an－a1＝－(2＋23＋25＋…＋2n－2)．高考数学所以an＝a1－＝－.同理,当n为偶数时,an＝.所以an＝也可以写成an＝.【问题探究,变式训练】例1.已知{an}是等差数列,其前n项和为Sn,{bn}是等比数列,且a1＝b1＝2,a4＋b4＝21,S4＋b4＝30.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)记cn
16、＝anbn,n∈N*,求数列{cn}的前n项和．【解析】:(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.由a1＝b1＝2,得a4＝2＋3d,b4＝2q3,S4＝8＋6d.(3分)由条件a4＋b4＝21,S4＋b4＝30,得方程组解得所以an＝n＋1,bn＝2n,n∈N*.(7分)(2)由题意知cn＝(n＋1)×2n.记Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn.则Tn＝2×2＋3×22＋4×23＋…＋n×2n－1＋(n＋1)×2n,2Tn＝2×22＋3×23＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2
17、n＋(n＋1)2n＋1,所以－Tn＝2×2＋(22＋23＋…＋2n)－(n＋1)×2n＋1,(11分)即Tn＝n·2n＋1,n∈N*.(14分)【变式1】.在数列中,已知,,,设为的前项和．（1）求证:数列是等差数列;（2）求．证明（1）因为,所以,又因为,所以,高考数学所以是首项为1,公差为的等差数列．（2）由（1）知,所以,所以,所以,两式相减得．,所以．【变式2】.已知数列的前项和为,且（）．（1）求数列的通项公式;（2）若数列满足,求数列的通项公式．解（1）由,得．两式相减,得,所以,由又,
18、得,,所以数列为等比数列,且首项为2,公比,所以．（2）由（1）知．由(),得()．故,即．当时,．所以【关联1】.数列{an}的前n项和为Sn,a1＝2,Sn＝an(r∈R,n∈N*)．(1)求r的值及数列{an}的通项公式;(2)设bn＝(n∈N*),记{bn}的前n项和为Tn.①当n∈N*时,λ＜T2n－Tn恒成立,求实数λ的取值范围;②求证:存在关于n的整式g(n),使得(Ti＋1)＝Tn·g(n)－1对一切n≥2,n∈N*都成立．高考数学思路分析(1)利用关
