高考数学二轮核心考点突破:专题19-数列通项与求和问题(含答案)

高考数学二轮核心考点突破:专题19-数列通项与求和问题(含答案)

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1、专题19数列通项与求和问题【自主热身,归纳提炼】1.等比数列的各项均为实数,其前项和为,已知,,则.【答案】【解析】由于,故,而,故,则.2.对于数列{an},定义数列{bn}满足bn=an+1-an(n∈N*),且bn+1-bn=1(n∈N*),a3=1,a4=-1,则a1=________.【答案】8 【解析】:因为b3=a4-a3=-1-1=-2,所以b2=a3-a2=b3-1=-3,所以b1=a2-a1=b2-1=-4,三式相加可得a4-a1=-9,所以a1=a4+9=8.3.设公比不为1的

2、等比数列{an}满足a1a2a3=-,且a2,a4,a3成等差数列,则数列{an}的前4项和为________.【答案】: 解后反思本题主要考查等差中项和等比中项的性质及应用,体现了等差数列和等比数列的基本量的计算问题中的方程思想,等比数列的求和要注意公比是否为1.:4.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=2a2+3,S3=2a3+3,则公比q的值为________.【答案】:.2 当q=1时,显然不满足题意;当q≠1时,整理得解得q=2.高考数学5.记公比为正数的等比数列{an}的前n项

3、和为Sn.若a1=1,S4-5S2=0,则S5的值为________.【答案】:31【解析】:设公比为q,且q>0,又a1=1,则an=qn-1.由S4-5S2=0,得(1+q2)S2=5S2,所以q=2,所以S5==31.解后反思利用S4=(1+q2)S2,可加快计算速度,甚至可以心算.6.设数列的前项和为,若,则数列的通项公式为.【答案】:7.已知数列{an}满足a1=-1,a2>a1,

4、an+1-an

5、=2n(n∈N*),若数列{a2n-1}单调递减,数列{a2n}单调递增,则数列{an}的通

6、项公式为an=________.【答案】 【解析】:因为

7、an+1-an

8、=2n,所以当n=1时,

9、a2-a1

10、=2.由a2>a1,a1=-1得a2=1.当n=2时,

11、a3-a2

12、=4,得a3=-3或a3=5.因为{a2n-1}单调递减,所以a3=-3.当n=3时,

13、a4-a3

14、=8,得a4=5或a4=-11.因为{a2n}单调递增,所以a4=5.同理得a5=-11,a6=21.因为{a2n-1}单调递减,a1=-1<0,所以a2n-1<0.同理a2n>0.所以当n为奇数时(n≥3),有an-an-

15、1=-2n-1,an-1-an-2=2n-2.两式相加得an-an-2=-2n-2.那么a3-a1=-2;a5-a3=-23;…;an-an-2=-2n-2.以上各式相加得an-a1=-(2+23+25+…+2n-2).高考数学所以an=a1-=-.同理,当n为偶数时,an=.所以an=也可以写成an=.【问题探究,变式训练】例1.已知{an}是等差数列,其前n项和为Sn,{bn}是等比数列,且a1=b1=2,a4+b4=21,S4+b4=30.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)记cn

16、=anbn,n∈N*,求数列{cn}的前n项和.【解析】:(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.由a1=b1=2,得a4=2+3d,b4=2q3,S4=8+6d.(3分)由条件a4+b4=21,S4+b4=30,得方程组解得所以an=n+1,bn=2n,n∈N*.(7分)(2)由题意知cn=(n+1)×2n.记Tn=c1+c2+c3+…+cn.则Tn=2×2+3×22+4×23+…+n×2n-1+(n+1)×2n,2Tn=2×22+3×23+…+(n-1)×2n-1+n×2

17、n+(n+1)2n+1,所以-Tn=2×2+(22+23+…+2n)-(n+1)×2n+1,(11分)即Tn=n·2n+1,n∈N*.(14分)【变式1】.在数列中,已知,,,设为的前项和.(1)求证:数列是等差数列;(2)求.证明(1)因为,所以,又因为,所以,高考数学所以是首项为1,公差为的等差数列.(2)由(1)知,所以,所以,所以,两式相减得.,所以.【变式2】.已知数列的前项和为,且().(1)求数列的通项公式;(2)若数列满足,求数列的通项公式.解(1)由,得.两式相减,得,所以,由又,

18、得,,所以数列为等比数列,且首项为2,公比,所以.(2)由(1)知.由(),得().故,即.当时,.所以【关联1】.数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,Sn=an(r∈R,n∈N*).(1)求r的值及数列{an}的通项公式;(2)设bn=(n∈N*),记{bn}的前n项和为Tn.①当n∈N*时,λ<T2n-Tn恒成立,求实数λ的取值范围;②求证:存在关于n的整式g(n),使得(Ti+1)=Tn·g(n)-1对一切n≥2,n∈N*都成立.高考数学思路分析(1)利用关

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