专题08-直接证明与间接证明-Word版含解析.doc

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1、专题08直接证明与间接证明【知识点总结】1．直接证明直接证明中最基本的两种证明方法是综合法和分析法．(1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又称为：由因导果法(顺推证法)．(2)分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．分析法又称为：执果索因法(逆推证法)．2．间接证明反证法：假设原命题不成立，经

2、过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．【思路分析】(1)综合法证题的一般思路用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知逐步推出结论．(2)分析法证题的一般思路分析法的思路是逆向思维，用分析法证题必须从结论出发，倒着分析，寻找结论成立的充分条件．应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件．(3)反证法证题的一般思路反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立

3、．反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般形式是：或者是A，或者是非A，即在同一讨论过程中，A和非A有且仅有一个是正确的，不能有第三种情况出现．题型一　综合法【例1】　已知数列{an}满足a1＝且an＋1＝an－a(n∈N*)．(1)证明：1<≤2(n∈N*)；(2)设数列{a}的前n项和为Sn，证明：<≤(n∈N*)．【证明】　(1)由题意得an＋1－an＝－a<0，即an＋10.由0

4、≤2(n∈N*)．(2)由题意得a＝an－an＋1，所以Sn＝a1－an＋1.①由－＝和1<≤2得1<－≤2，所以n<－≤2n，因此≤an＋1<(n∈N*)．②由①②得<≤(n∈N*)．【变式1】　在△ABC中，设a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且直线bx＋ycosA＋cosB＝0与ax＋ycosB＋cosA＝0平行，求证：△ABC是直角三角形．[证明]法一：由两直线平行可知bcosB－acosA＝0，由正弦定理可知sinBcosB－sinAcosA＝0，即sin2B－sin2A＝0，故2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A

5、＋B＝.若A＝B，则a＝b，cosA＝cosB，两直线重合，不符合题意，故A＋B＝，即△ABC是直角三角形．法二：由两直线平行可知bcosB－acosA＝0，由余弦定理，得a·＝b·，所以a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，所以c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，所以(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，所以a＝b或a2＋b2＝c2.若a＝b，则两直线重合，不符合题意，故a2＋b2＝c2，即△ABC是直角三角形．题型二　分析法【例2】　已知m＞0，a，b∈R，求证：≤.【证明】　因为m＞0，所以1＋m＞

6、0，所以要证≤，即证(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，即证m(a2－2ab＋b2)≥0，即证(a－b)2≥0，又(a－b)2≥0显然成立，所以≤.【变式2】　△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：＋＝.[证明]要证＋＝，即证＋＝3，也就是证＋＝1，只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，需证c2＋a2＝ac＋b2.又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成

7、立．于是原等式成立．题型三　反证法【例3】设a>0，b>0，且a＋b＝＋.证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．【证明】　由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2.(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0，得0

8、．(1)若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值；(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．[证明](1)设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，D