第3章-多维随机变量及其分布.ppt

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1、推广第三章一维随机变量多维随机变量注意:善于类比,区别异同多维随机变量及其分布第三章第一节一、二维随机变量的概念二、分布函数及其性质三、二维离散型随机变量四、二维连续型随机变量二维随机变量图示一、二维随机变量的概念实例1炮弹的弹着点的位置（X，Y）是一个二维随机变量。二维随机变量(X，Y)的性质不仅与X、Y有关，而且还与这两个随机变量之间的相互关系有关。实例2考查某一地区学前儿童的发育情况，则儿童的身高H和体重W就构成二维随机变量（H，W）。说明1.分布函数的定义二、分布函数及其性质几何解释2.分布函数的性质若二维随机变量(X,

2、Y)的所有可能取值是有限对或无限可列多对,则称(X,Y)为二维离散型随机变量.1.定义2.二维离散型随机变量的分布律三、二维离散型随机变量二维随机变量(X,Y)的分布律也可表示为解例1(X,Y)的所有可能取为解抽取两支都是绿笔抽取一支绿笔,一支红笔例2从一个装有3支蓝色、2支红色、3支绿色圆珠笔的盒子里,随机抽取两支,若X、Y分别表示抽出的蓝笔数和红笔数,求(X,Y)的分布律.故所求分布律为例3一个袋中有三个球,依次标有数字1,2,2,从中任取一个,不放回袋中,再任取一个,设每次取球时,各球被取到的可能性相等,以X,Y分别记第一

3、次和第二次取到的球上标有的数字,求(X,Y)的分布律与分布函数.(X,Y)的所有可能取值为解故(X,Y)的分布律为下面求分布函数.所以(X,Y)的分布函数为说明离散型随机变量(X,Y)的分布函数归纳为1.定义四、二维连续型随机变量2.性质例4解(2)将(X,Y)看作是平面上随机点的坐标,即有第三章第二节一、边缘分布函数二、离散型随机变量的边缘分布律三、连续型随机变量的边缘概率密度边缘分布一、边缘分布函数为随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布函数.二、离散型随机变量的边缘分布律离散型随机变量关于X和Y的边缘分布函数分别为例1已知(X

4、,Y)的联合分布律如下表所示，求边缘分布律.注意联合分布边缘分布解解例2样本点三、连续型随机变量的边缘概率密度同理可得Y的边缘分布函数Y的边缘概率密度.解例3二维正态分布若二维随机变量(X,Y)具有概率密度二维正态分布的图形解由于例4则有即二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,同理可得因此边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分布不一定是二维正态分布.一、离散型随机变量的条件分布二、连续型随机变量的条件分布条件分布第三节定义一、离散型随机变量的条件分布例1解由上述分布律的表格可得例2一射手进行射击,击中目标的概率为p(0<

5、p<1),射击到击中目标两次为止.设以X表示首次击中目标所进行的射击次数,以Y表示总共进行的射击次数.试求X和Y的联合分布律及条件分布律.解现在求条件分布律．由于定义二、连续型随机变量的条件分布说明联合分布、边缘分布、条件分布的关系如下联合分布条件分布函数与条件密度函数的关系边缘分布条件分布联合分布解例3又知边缘概率密度为解例4第三章第四节相互独立的随机变量一、两个随机变量的独立性二、多维随机变量1.定义一、两个随机变量的独立性2.说明(1)若离散型随机变量(X,Y)的分布律为解例1(1)由分布律的性质知特别有(2)因为X与Y相

6、互独立,所以有解由于X与Y相互独立,例2因为X与Y相互独立,解所以求随机变量(X,Y)的分布律.设两个独立的随机变量X与Y的分布律为例3例4一负责人到达办公室的时间均匀分布在8-12时,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7-9时,设他们两人到达的时间相互独立,求他们到达办公室的时间相差不超过5分钟的概率.解于是1.定义二、多维随机变量2.分布函数3.概率密度函数其他依次类推.4.边缘分布函数5.边缘概率密度6.相互独立性7.重要结论第三章第五节一、离散型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布两个随机变量的函数的分布例1一

7、、离散型随机变量函数的分布概率解等价于概率结论例2设两个独立的随机变量X与Y的分布为得因为X与Y相互独立,所以解求随机变量的分布律.可得所以例3设相互独立的两个随机变量X,Y具有同一分布律,且X的分布律为于是解1.Z=X+Y的分布二、连续型随机变量函数的分布由此可得概率密度函数为由于X与Y对称,当X,Y独立时,由公式解例4设两个独立的随机变量X与Y都服从标准正态分布,求Z=X+Y的概率密度.得说明有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布.解例5此时例6证明同理可得故有当X,Y独立时,由此可得概率密度为解由公式例7得

8、所求密度函数得则有故有推广例8解