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《第五章相似矩阵及二次型.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第五章矩阵的对角化及二次型第一节方阵的特征值与特征向量一.概念:1.特征值,特征向量:设A是n阶矩阵，如果数和n维非零列向量x使关系式成立，那么，这样的数称为方阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于特征值的特征向量。2.特征方程,特征多项式,特征矩阵:齐次线性方程有非零解称为方阵A的特征方程，显然特征方程的n个根即为A的n个特征值(实根或复根)。记称为A的特征多项式。称为A的特征矩阵。设为的一个特征值，为其对应的特征向量，则是的解求的特征值求的根求的对应于特征值的特征向量求的解注：一个特征值对应的特征向量可能
2、有无穷多个。例1：求矩阵特征值和特征向量。二.计算方法:解：A的特征多项式为所以A的特征值为当时，对应的特征向量应满足即令，得到对应于的全部特征向量为当时，对应的特征向量应满足即令，得到对应于的全部特征向量为例2：求矩阵的特征值和特征向量.解：A的特征多项式为所以A的特征值为当时，解方程令，得到对应于的全部特征向量为由当时，解方程由令，得到对应于的全部特征向量为例3：求矩阵特征值和特征向量。所以A的特征值为当时，解方程解：A的特征多项式为即令，得到对应于的全部特征向量为当时，解方程即令，得到对应于的全部特征向
3、量为三.特征值的性质：1.定理1:设的特征值为，则(1)(2)推论方阵A可逆A有n个非零的特征值四.特征向量的性质：1.定理2:若是A对应于特征值的两个特征向量则也是A对应于的特征向量。2.定理3:矩阵A的不同特征值对应的特征向量是线性无关的.五:说明:1.对数值矩阵,一般用,求其特征值.2.求非数值矩阵的特征值,则需用定义求解.3.重根只对应一组线性无关的特征向量.例:设n阶方阵A满足,证明A的特征值为1或0.六.补充定理定理:设是方阵A对应于特征向量x的特征值,则:1.对数值k,则是矩阵kA对应于特征向量
4、x的特征值.2.对于正整数(≥2),则是矩阵对应于特征向量x的特征值.3.若A为可逆阵.则是矩阵对应于特征向量x的特征值.4.是的特征值.例:设三阶方阵A的三个特征值为1.2.-1,(1)求矩阵的特征值;(2)求矩阵的特征值;第二节矩阵相似于对角阵一.矩阵相似1.定义:设A、B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使称B是A的相似矩阵,记为A∽B矩阵P称为相似变换矩阵2.性质:(1)相似关系是等价关系(自反性,对称性,传递性),(2)定理4：若A与B相似，则(1)r(A)=r(B)(2)
5、A
6、=
7、B
8、(3)A与B的特
9、征多项式相同,则A与B特征值也相同。例1.设三阶矩阵与B相似,求的特征值.例2.设n阶方阵A与B相似,且是A对应于特征值的特征向量,证明:为B对应于的特征向量.1.概念:若n阶矩阵A与对角阵相似，则称A可对角化。二.方阵相似对角阵的条件:注：设A的n个线性无关的特征向量为，记矩阵，则P即为相似变换矩阵，使为对角阵。即P为A的n个线性无关的特征向量构成的矩阵证:2.条件:(1)定理5:n阶矩阵A与对角阵相似(即A能对角化)A有n个线性无关的特征向量(3)推论2:若A的每一个重特征值有个线性无关的特征向量,则A可
10、对角化(2)推论1:若n阶矩阵A有n个相异的特征值,则A可对角阵化。注:1)其逆命题不成立.2)若为单根,必对应一个线性无关的特征向量.若为重根,当对应线性无关向量个数11、，称为复二次型；当为实数时，称为实二次型。2)：只含平方项的二次型，称为二次型的标准形（或法式）若标准形的系数只在1，－1，0中取值，则称为二次型的规范形。取，则此时2.二次型与矩阵关系:其中即二次型可记作,其中A为对称阵。二次型对称阵一一对应故称对称阵A为二次型的矩阵，为对称阵A的二次型，对称阵A的秩叫做二次型的秩。结论:3.二次型与对称阵互表方法1)已知二次型求对称阵A:A的主对角线元素为项系数,其它元素为项系数的一半.2)已知对称阵A求二次型:上述步骤的逆过程.例1：二次型的矩阵为二次型的矩阵为例2.求
12、的二次型二.可逆变换化二次型为标准型1.概念:(1)可逆线性变换:设一组变量与另一组变量的变换式为简记为x=Py,其中,为可逆阵,称上式为可逆线性变换.(2)合同定义3：设A和B是n阶矩阵，若有可逆矩阵C使，则称矩阵A和B合同。性质:1)A与B合同,则A为对称阵2)合同不改变矩阵的秩.3)合同是方阵之间又一等价关系.B为对称阵2.化标准型方法:1)定理2:任给二次型,有可逆变换使化成标准形其中是的矩
