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1、第五章相似矩阵及二次型§1预备知识:向量的内积一、内积及其性质（大纲没有要求，但后面要涉及内积知识）定义1设有维向量令称为向量与的内积.注:内积有时也记作.内积是两个向量之间的一种运算,其结果是一个实数,按矩阵的记法可表示为二、向量的长度与性质（大纲没有要求，但后面有长度的记号）定义2令称为维向量的长度(或范数).当时,称为单位向量.对中的任一非零向量,向量是一个单位向量,因为注:用非零向量的长度去除向量,得到一个单位向量,这一过程通常称为把向量单位化.三、正交向量组若两向量与的内积等于零，即，则称向量与相互正交.记
2、作.注:显然,若,则与任何向量都正交.若维向量是一个非零向量组，且中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组.定理1若维向量是一组正交向量组，则线性无关.例8(E02)已知三维向量空间中两个向量正交，试求，使，两两正交.解设且分别与正交.则即解之得令四、规范正交基及其求法常采用正交向量组作向量空间的基，称为向量空间的正交基.定义3设维向量是向量空间的一个基,如果两两正交,且都是单位向量,则称是向量空间的一个规范正交基(或标准正交基).若是的一个规范正交基,则中任一向量能由线性表示,设表示式为,为求其中的系数可用左乘上
3、式,有即这就是向量在规范正交基中的坐标的计算公式.利用这个公式能方便地求得向量在规范正交基下的坐标为：因此,我们在给出向量空间的基时常常取规范正交基.规范正交基的求法:设是向量空间的一个基,要求的一个规范正交基,也就是要找一组两两正交的单位向量,使与等价.这样一个问题,称为把这个基规范正交化，可按如下两个步骤进行：(1)正交化容易验证两两正交,且与等价.注:上述过程称为施密特(Schimidt)正交化过程.它满足:对任何,向量组与等价.(2)单位化:取则是的一个规范正交基.注：施密特(Schimidt)正交化过程可将
4、中的任一组线性无关的向量组化为与之等价的正交组；再经过单位化，得到一组与等价的规范正交组例6(E01)设试用施密特正交化方法,将向量组正交规范化.解不难证明是线性无关的.取再把它们单位化，取则即为所求.例7用施密特正交化方法，将向量组正交规范化.解显然，是线性无关的.先正交化，取再单位化，得规范正交向量如下例3已知试求一组非零向量，使，两两正交.解应满足方程即它的基础解系为，把基础解系正交化，即取，，求得，五、正交矩阵与正交变换定义4若阶方阵满足(即),则称为正交矩阵,简称正交阵.为正交矩阵的充分必要条件是的列向量都
5、是单位正交向量组.注：由与等价,定理的结论对行向量也成立.即为正交矩阵的充分必要条件是的行向量都是单位正交向量组.正交矩阵的个列（行）向量构成向量空间的一个规范正交基例4验证矩阵是正交矩阵定义5若为正交矩阵,则线性变换称为正交变换.正交变换的性质：正交变换保持向量的长度不变.§2矩阵的特征值与特征向量一、特征值与特征向量定义6设是阶方阵,如果数和维非零向量使成立,则称数为方阵的特征值,非零向量称为的对应于特征值的特征向量（或称为的属于特征值的特征向量）.注：1.阶方阵的特征值，就是使齐次线性方程组有非零解的值,即满足
6、方程的都是矩阵的特征值.称关于的一元次方程为矩阵的特征方程，称的一元次多项式为矩阵的特征多项式.根据上述定义，即可给出特征向量的求法：设为方阵的一个特征值，则由齐次线性方程组可求得非零解，那么就是的对应于特征值的特征向量，且的对应于特征值的特征向量全体是方程组的全体非零解。即设为的基础解系，则的对应于特征值的特征向量全体是不同时.例1(E01)求矩阵的特征值和特征向量.解矩阵的特征方程为所以是矩阵的两个不同的特征值.以代入与特征方程对应的齐次线性方程组，得基础解系是故是矩阵对应于的全部特征向量.以代入与特征方程对应的
7、齐次线性方程组，得基础解系是故是矩阵对应于的全部特征向量.例2(E02)设求A的特征值与特征向量.解特征值当时，解方程由基础解系故对应于的全体特征向量为当时，解方程由得基础解系故对应于的全部特征向量为：(不同时为0).二、特征值与特征向量的性质性质1阶矩阵与它的转置矩阵有相同的特征值.性质2设是阶矩阵，是的个特征值，则有(1)(2)定理1阶矩阵的互不相等的特征值对应的特征向量线性无关.注：1.属于不同特征值的特征向量是线性无关的;2.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量3.矩阵的特征向量
8、总是相对于矩阵的特征值而言的,一个特征值具有的特征向量不唯一;一个特征向量不能属于不同的特征值.例7(E05)设是方阵A的特征值,证明(1)是的特征值;(2)当A可逆时,是的特征值.证因是的特征值，故有使于是(1)所以是的特征值.(2)当A可逆时,由有因知故所以是的特征值.证毕.注：易进一步证明：若是的特征值,则是的特征值，是的特征值，其中例8
