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1、班级姓名学号第五章相似矩阵及二次型1.试用施密特法把向量组正交化.解：根据施密特正交化方法:令，,，故正交化后得2.判断下列矩阵是不是正交阵，并说明理由:(1)(2)解：(1) 第一个行向量非单位向量,故不是正交阵．(2)该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵．15班级姓名学号1.设为n维列向量,,令,求证:H是对称的正交阵.证明因为HT=(E-2xxT)T=E-2(xxT)T=E-2(xxT)T=E-2(xT)TxT=E-2xxT,所以H是对称矩阵.因为HTH=HH=(E-2xxT)(E-2xxT)=E-2xxT-2
2、xxT+(2xxT)(2xxT)=E-4xxT+4x(xTx)xT=E-4xxT+4xxT=E,所以H是正交矩阵.2.设与都是阶正交矩阵,证明：（1）也是正交阵；（2）也是正交阵.证明（1）因为是阶正交阵，故，所以故也是正交阵．正交.正交.（2）因为是阶正交阵，故，故也是正交阵．3.求下列矩阵的特征值和特征向量:(1)(2).15班级姓名学号并问它们的特征向量是否两两正交?解：(1) ①.故的特征值为．②当时,解方程,由,得基础解系所以是对应于的全部特征值向量．当时,解方程,由,得基础解系所以是对应于的全部特征向量．③ ,故不正交．(
3、2) ① .故的特征值为．② 当时，解方程，由,得基础解系故是对应于的全部特征值向量.当时,解方程，由,得基础解系故是对应于的全部特征值向量15班级姓名学号当时，解方程，由,得基础解系故是对应于的全部特征值向量．③ ，，，所以两两正交．6.设为阶矩阵,证明与的特征值相同.证明:因为
4、AT-lE
5、=
6、(A-lE)T
7、=
8、A-lE
9、T=
10、A-lE
11、,所以AT与A的特征多项式相同,从而AT与A的特征值相同.7.设,证明的特征值只能取1或2.证明:设l是A的任意一个特征值,x是A的对应于l的特征向量,则(A2-3A+2E)x=l2x-3lx+
12、2x=(l2-3l+2)x=0.因为x¹0,所以l2-3l+2=0,即l是方程l2-3l+2=0的根,也就是说l=1或l=2.8.设是阶矩阵的特征值,证明也是阶矩阵的特征值.证明:设x是AB的对应于l¹0的特征向量,则有(AB)x=lx,于是B(AB)x=B(lx),或BA(Bx)=l(Bx),从而l是BA的特征值,且Bx是BA的对应于l的特征向量.9.已知3阶矩阵的特征值为1,2,3,求.解:令j(l)=l3-5l2+7l,则j(1)=3,j(2)=2,j(3)=3是j(A)的特征值,故
13、A3-5A2+7A
14、=
15、j(A)
16、=j(1)
17、×j(2)×j(3)=3´2´3=18.15班级姓名学号10.设方阵与相似,求x,y.解方阵与相似，则与的特征多项式相同，即．11.设A与B都是n阶方阵,且,证明AB与BA相似.证明:则可逆则与相似．12.设矩阵可相似对角化,求.解由,得A的特征值为l1=6,l2=l3=1.因为A可相似对角化,所以对于l2=l3=1,齐次线性方程组(A-E)x=0有两个线性无关的解,因此R(A-E)=1.由知当x=3时R(A-E)=1,即x=3为所求.13.设3阶方阵A的特征值为;对应的特征向量依次为求A.解：因为，15班级姓名学号又，所以，.14.
18、已知是矩阵的一个特征向量，试求参数及特征向量所对应的特征值.解：设l是特征向量p所对应的特征值,则(A-lE)p=0,即,解之得l=-1,a=-3,b=0.15.设3阶实对称阵A的特征值为6,3,3,与特征值6对应的特征向量为，求A.解：设.由，知①3是的二重特征值,根据实对称矩阵的性质定理知的秩为1，故利用①可推出秩为1.则存在实的使得②成立．由①②解得．得．16.试求一个正交的相似变换矩阵,将下列对称阵化为对角阵:15班级姓名学号(1);解： 故得特征值为．当时，由.解得.单位特征向量可取:当时,由.解得.单位特征向量可取:当时,
19、由. 解得．单位特征向量可取:,得正交阵..(2)解：，故得特征值为15班级姓名学号当时，由.解得此二个向量正交,单位化后,得两个单位正交的特征向量;，单位化得当时,由.解得.单位化得.得正交阵.．17.设,求解由,得A的特征值为l1=1,l2=5,l3=-5.对于l1=1,解方程(A-E)x=0,得特征向量p1=(1,0,0)T.对于l1=5,解方程(A-5E)x=0,得特征向量p2=(2,1,2)T.对于l1=-5,解方程(A+5E)x=0,得特征向量p3=(1,-2,1)T.令P=(p1,p2,p3),则P-1AP=diag(1
20、,5,-5)=L,A=PLP-1,A100=PL100P-1.因为L100=diag(1,5100,5100),,所以15班级姓名学号.18.用矩阵记号表示下列二次型:(1);解：．(2).解：．19.求一个正交矩阵化下
