相似矩阵及二次型.ppt

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1、相似矩阵及二次型§1.向量的内积定义1设有n维向量令[x,y]称为向量x与y的内积。内积是向量的一种运算,用矩阵记号表示,当x与y都是列向量时,有内积具有下列性质(其中x,y,z为n维向量,为实数):(1)[x,y]=[y,x];(2)[x,y]=[x,y];(3)[x+y,z]=[x,z]+[y,z]..§1.向量的内积有解析几何中,我们曾经引进向量的数量积且在直角坐标系中,有n维向量的内积时数量积的一种推广,但n维向量没有3维向量那样直观的长度和夹角的概念,因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推广,并且反过来,利用内积来

2、定义n维向量的长度和夹角:定义2令称为n维向量x的长度(或范数)。向量的长度有下述性质:1.非负性当时,;当x=0时,=0;2.齐次性;3.三角不等式。当=1时,称x为单位向量。向量的内积满足上式称为施瓦茨不等式,这里不予证明。由此得于是有下面的定义:当时,称为n维向量x与y的夹角。当[x,y]=0时,称向量x与y正交。显然,若x=0,则x与任意向量都正交。§1.向量的内积下面讨论正交向量组的性质。所谓正交向量组,是指一组两两正交的非零向量。定理1若n维向量a1,a2,…,ar是一组两两正交的非零向量,则a1,a2,…,ar

3、线性无关。证设有使以左乘上式两端,得,因故,从而必有。类似可证,…,。于是向量组a1,a2,…,ar线性无关。证毕我们常采用正交向量组作为向量空间的基,称为向量空间的正交基。例如n个两两正交的n维非零向量,可构成向量空间Rn的一个正交基。§1.向量的内积例1已知3维向量空间R3中两个向量正交,试求一个非零向量a3,使a1,a2,a3两两正交。解记,a3应满足齐次线性方程Ax=0,即,由,得,从而有基础解系。取即合所求。定义3设n维向量e1,e2,…,er是向量空间的一个基,如果e1,e2,…,er两两正交,且都是单位向量,则

4、称e1,e2,…,er是V的一个规范正交基。例如就是R4的一个规范正交基。若e1,e2,…,er是V的一个规范正交基,那么V中任一向量a应能由e1,e2,…,er线性表示,设表示式为。为求其中的系数(i=1,…,r),可用左乘上式,有即§1.向量的内积设a1,a2,…,ar是向量空间V的一个基,要求V的一个规范正交基。这也就是要找一组两两正交的单位向量e1,e2,…,er,使e1,e2,…,er与a1,a2,…,ar等价。这样一个问题,称为把a1,a2,…,ar这个基规范正交化。我们可以用以下办法把a1,a2,…,ar规范正

5、交化:取容易验证b1,…,br,两两正交,且b1,…,br与a1,…ar等价。然后只要把它们单位化,即取就得V的一个规范正交基。上述从线性无关向量组a1,…ar导出正交向量组b1,…,br的过程称为施密特(Schimidt)正交化过程。它不仅满足b1,…,br与a1,。。。,ar等价,还满足:对任何k(1),向量组b1,…,bk与a1,…,ak等价。例2设试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化。解取再把它们单位化,取§1.向量的内积§1.向量的内积例4验证矩阵P是正交矩阵P解P的每个列向量都是单位向量,且两两正交,所以P是

6、正交矩阵。定义5若P为正交矩阵,则线性变换y=Px称为正交变换。设y=Px为正交变换,则有按表示向量的长度,相当于线段的长度。说明经正交变换线段长度保持不变,这是正交变换的优良特性。§2.方阵的特征值与特征向量工程技术中的一些问题,如振动问题和稳定性问题,常可归结为求一个方阵的特征值和特征的问题。数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组等问题,也都要用到特征值的理论。定义6设A是n阶矩阵,如果数和n维非零列向量x使关系式(1)成立,那么,这样的数称为方阵A的特征值,非零向量x称为A的对应于特征值的特征向量。§2.方阵的特征值与特

7、征向量(1)式也可写成(2)这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充分必要条件是系数行列式(3)即上式是以为未知数的一元n次方程,称为方阵A的特征方程。其左端是的n次多项式,记作f(),称为方阵A的特征多项式。显然,A的特征值就是特征方程的解。特征方程在复数范围内恒有解,其个数为方程的次数(重根按重数计算),因此,n阶矩阵A有n个特征值。§2.方阵的特征值与特征向量设n阶矩阵A=(aij)的特征值为,由多项式的根与系数之间的关系,不难证明(1)(2)请读者证明之。设为方阵A的一个特征值,则由方程可求得非零解x=

8、pi,那么pi便是A的对应于特征值的特征向量。(若为实数,则pi可取实向量;若为复数,则pi为复向量。)例5求的特征值和特征向量。解A的特征多项式为所以A的特征值为,。当时,对应的特征向量应满足即解得x1=x2,所以对应的特征向量可取为。当时,由即解得x1=-x2,所以对应的特征向量可取为

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