相似矩阵及二次型ppt课件.ppt

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1、第五章相似矩阵及二次型§5.4对称矩阵的对角化§5.3相似矩阵§5.2方阵的特征值与特征向量§5.1向量的内积、长度及正交性§5.5二次型及其标准形§5.6用配方法化二次型成标准形§5.7正定二次型1n维向量空间是三维向量空间的直接推广,但是只定义了线性运算,而三维空间中有向量夹角和长度的概念,它们构成了三维空间丰富的内容.§5.1向量的内积、长度及正交性引言我们希望把这两个概念推广到n维向量空间中.在解析几何中,我们曾定义了向量的内积(数量积)建立标准的直角坐标系后,可用向量的坐标来计算内积设则2内积一、内积的定义及性质定义3性质著名的Cauchy-Schw

2、arz不等式即4长度范数二、向量的长度及性质定义性质(三角不等式用Cauchy-Schwarz不等式易证,见P114)5单位向量夹角.三、单位向量和n维向量间的夹角正交6四、正交向量组定义若一个不含零向量的向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组．又如果这些向量都是单位向量,则称该向量组为规范正交向量组.若该向量组是一个向量空间V的基,又分别称为向量空间V的正交基和规范正交基.7性质证设是正交向量组正交向量组必线性无关.8例1解这相当于要求方程组的非零解求得基础解系(即为所求)为已知中两个正交向量试求使构成的一个正交基.9例2(例1的一般化,也称正交基

3、的扩张定理)设是中的一个正交向量组,,证明必可找到个向量使构成的正交基.都正交.证只需证必可找到使与记必有非零解.其任一非零解即为所求的10五、施密特正交化过程设是一组线性无关的向量,它就是它生成的向量空间的一个基(坐标系),如何在向量空间L中建立正交的基(坐标系)?这个问题就是…找与等价的正交向量组11以三个向量为例,从几何直观上去求.上式两边与做内积,注意得从而12我们已求得已正交,再求构造(1)式两边与内积,注意得(1)式两边再与内积,类似可得从而13施密特正交化方法设线性无关令则两两正交,且与等价.是与等价的规范正交组14两两正交,可用数学归纳法严格证

4、明.与等价,这是因为(只需看三个)15例3求的一个规范正交基,并求向量解易知线性无关,用施密特正交化方法再单位化在该规范正交基下的坐标.16当建立规范正交基(相当于标准直角坐标系)后,求一个向量的坐标就特别方便两边分别与内积(这里就不具体计算了)17六、正交矩阵定理A是正交矩阵A的列组是规范正交组A的行组是规范正交组定义正交矩阵.18记证(只证第三条)19性质(1)A是正交矩阵，则和都是正交矩阵；(2)A，B都是正交矩阵，则AB也是正交矩阵；(3)A是正交矩阵，则；(4)P是正交矩阵，则，即正交变换保持向量的长度不变。20第五章相似矩阵及二次型§5.4对称矩阵

5、的对角化§5.3相似矩阵§5.2方阵的特征值与特征向量§5.1向量的内积、长度及正交性§5.5二次型及其标准形§5.6用配方法化二次型成标准形§5.7正定二次型21§5.2方阵的特征值与特征向量引言如果存在可逆矩阵P使(1)式成立,此时称方阵A是可(相似)对角化的.记,则本章主要讨论:对于方阵A能否找到(如何找)可逆矩阵P(1)使得满足上式的称为A的特征值,称为A的对应于特征值的特征向量.22定义满足设A是n阶方阵，如果数和n维非零列向量x则称为A的特征值，非零向量x称为A的对应于(或属于)特征值的特征向量。把(1)改写为是A的特征值使得(2)有非零解(2

6、)的所有非零解向量都是对应于的特征向量.23(注：第一章已求得，)称为A的特征多项式，而称为A的特征方程。由代数基本定理，特征方程在复数范围恰有n个根(重根按重数计算)。因此，n阶方阵在复数范围恰有n个特征值。本章关于特征值、特征向量的讨论永远假设在复数范围内进行。24性质设n阶方阵特征值为,则又25例1求矩阵的特征值.两个特征值为问:特征向量是实的还是复的?26例2求A的特征值.因此,n个特征值为问：对角矩阵，下三角矩阵的特征值为？27例3求矩阵A，B的特征值和特征向量。解（对矩阵A）28A的特征值为对于，解方程组同解方程组为，令，得基础解系因此，对应于特征

7、值的所有特征向量为29对于，解方程组同解方程组为，令得基础解系因此，对应于特征值的所有特征向量为30（对矩阵B）B的特征值为31对于，解方程组同解方程组为，令，得基础解系因此，对应于特征值的所有特征向量为32对于，解方程组同解方程组为，令，得基础解系因此，对应于特征值的所有特征向量为33回答问题：(1)向量满足,是A的特征向量吗？(2)实矩阵的特征值(特征向量)一定是实的吗?(3)矩阵A可逆的充要条件是所有特征值______。，A有一个特征值为______。(4)，A有一个特征值为______。可逆,A的特征值一定不等于______。34(6)一个特征值对应于

8、几个特征向量?一个特征向量对应几个特征