第五章 相似矩阵及二次型答案

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1、线性代数习题集答案：第五章　相似矩阵及二次型（A）1、（1）不是；　　（2）是。2、。3、（1）；（2）。4、（1）；　（2）；　（3）。5、设是的特征值，则，所以也是的特征值。6、设是对称矩阵，即，若与B合同，即可逆，使，，也是对称矩阵。7、　反证：若的特征值均非零，可设为A的n个特征值，则，得可逆，这与条件不可逆矛盾，所以必有特征值为0。8、　　。9、。510、（1）；　（2）。11、（1）；　（2）。12、。13、（1）；　（2）。14、配方法：（1）；　配方法：（2）；配方法：(3)。15、（1）；　　（2）。5（B）1.

2、。2.A的特征值分别为1，－2，－5，所以A可以相似对角化，且。3.解空间的标准正交基为；与解空间正交的向量为。4.。5.证明：　　所以，－1是A的特征值。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＃6.，特征值为：1、1、10，所以标准形为，曲面为旋转椭球面。7.提示：A正定正定，而，且，所以的所有特征值均大于0，所以A正定。8.证明：“”：A正定，可逆矩阵P，使即5且U可逆，所以A合同于E；“”：若，作，　　　　若，由U可逆，有　　　　所以正定，所以A正定。　　　　　　　　　　　　　　　　　　＃1.证明：有正交变换，使得而

3、，，另，不妨设，取，则，，　　　　　　　　　　＃　　（C）1.证明：　　　　　由，，，所以B是正定矩阵。＃2.证明：（1）　由条件，由A、B是实对称矩阵，所以存在正交矩阵Q、R，成立　　　，由A与B相似，所以A与B具有相同的特征值重集，故可设，，所以，A与B合同；（2）反例：　　　，　　　　　　A与B的特征值重集不相同，所以A与B不相似，但A与B合同。　　　　　＃3.证明：（1）；5（2）　　　　　　设方程组的基础解系为，方程组的基础解系为　　　。下证向量组，线性无关：设等式两边同时左乘矩阵A，有，得，所以向量组，线性无关而是A的

4、属于特征值0的特征向量，是A的属于特征值1的特征向量，所以A的n个线性无关的特征向量，所以A可以相似对角化；（3）由A的特征值为重集，所以A＋E的特征值为1或2，即A的所有特征值均大于0，所以A是右逆矩阵。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＃1.证明：设A的特征值为　，B的特征值为，由A正定，B半正定，有。而，；若要等式成立，充要条件为即。　　　＃2.证明：，所以，1是A的一个特征值。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＃5