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时间:2019-05-31
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1、线性代数习题集答案:第五章 相似矩阵及二次型(A)1、(1)不是; (2)是。2、。3、(1);(2)。4、(1); (2); (3)。5、设是的特征值,则,所以也是的特征值。6、设是对称矩阵,即,若与B合同,即可逆,使,,也是对称矩阵。7、 反证:若的特征值均非零,可设为A的n个特征值,则,得可逆,这与条件不可逆矛盾,所以必有特征值为0。8、 。9、。510、(1); (2)。11、(1); (2)。12、。13、(1); (2)。14、配方法:(1); 配方法:(2);配方法:(3)。15、(1); (2)。5(B)1.
2、。2.A的特征值分别为1,-2,-5,所以A可以相似对角化,且。3.解空间的标准正交基为;与解空间正交的向量为。4.。5.证明: 所以,-1是A的特征值。 #6.,特征值为:1、1、10,所以标准形为,曲面为旋转椭球面。7.提示:A正定正定,而,且,所以的所有特征值均大于0,所以A正定。8.证明:“”:A正定,可逆矩阵P,使即5且U可逆,所以A合同于E;“”:若,作, 若,由U可逆,有 所以正定,所以A正定。 #1.证明:有正交变换,使得而
3、,,另,不妨设,取,则,, # (C)1.证明: 由,,,所以B是正定矩阵。#2.证明:(1) 由条件,由A、B是实对称矩阵,所以存在正交矩阵Q、R,成立 ,由A与B相似,所以A与B具有相同的特征值重集,故可设,,所以,A与B合同;(2)反例: , A与B的特征值重集不相同,所以A与B不相似,但A与B合同。 #3.证明:(1);5(2) 设方程组的基础解系为,方程组的基础解系为 。下证向量组,线性无关:设等式两边同时左乘矩阵A,有,得,所以向量组,线性无关而是A的
4、属于特征值0的特征向量,是A的属于特征值1的特征向量,所以A的n个线性无关的特征向量,所以A可以相似对角化;(3)由A的特征值为重集,所以A+E的特征值为1或2,即A的所有特征值均大于0,所以A是右逆矩阵。 #1.证明:设A的特征值为 ,B的特征值为,由A正定,B半正定,有。而,;若要等式成立,充要条件为即。 #2.证明:,所以,1是A的一个特征值。 #5
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