圆锥曲线的一个统一性质.doc

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1、圆锥曲线的一个统一性质1从两个例题谈起下面的两个题目是近期的两个高三数学质检题，笔者在教学过程中发现试题的编制都是源于圆锥曲线的一个共同性质。例1已知抛物线G的顶点在原点，焦点在y轴正半轴上，点P（m，4）到其准线的距离等于5。（1）求抛物线G的方程；（2）略；（3）过焦点弦与抛物线G的交点A、B分别作抛物线G的切线交于点M，试求面积之和的最小值。例2如图，以原点O为顶点，以y轴为对称轴的抛物线E的焦点为F（0，1），点M是直线上任意一点，过点M引抛物线E的两条切线分别交x轴于点S，T，切点分别为B，A。（1）求抛物线E的方程；（2）略；（3）当点M在直线l上移

2、动时，直线AB恒过焦点F，求m的值。以上两个例题，第一步所求的抛物线的方程均为，而在解决第三步的过程中，我们发现当直线过抛物线的焦点时，点M的坐标为（为直线AB的斜率），点M在抛物线的准线上。2圆锥曲线的一个同一性质源于对上述两个例题求解过程的思考，我们猜测：2.1抛物线的一个性质：过抛物线焦点的直线与抛物线相交于点A、B，过A、B分别作抛物线G的切线交于点M，则M点的坐标为，M点在抛物线的准线上。下证：不妨设抛物线的方程为，,，由得，,又,直线AM方程即（1）直线BM方程即（2），由（1）-（2）得，所以点M坐标为，M点在抛物线的准线上。类比于抛物线，我们猜测

3、，椭圆、双曲线具有同样的性质：（证明同上，略）2.2椭圆的一个性质：过椭圆的左（右）焦点的直线与椭圆相交于点A、B，过A、B分别作椭圆G的切线交于点M，则M点的坐标为（），点M在椭圆的左（右）准线上。2.3双曲线的一个性质：过双曲线的左（右）焦点的直线与椭圆相交于点A、B，过A、B分别作双曲线G的切线交于点M，则M点的坐标为（），点M在双曲线的左（右）准线上。3性质的应用例3已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且.过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.证明为定值；解析：因为直线过抛物线焦点，设直线方程为所以两条切线的交点M的坐标为.所以，所以

4、为定值，其值为0.例4已知椭圆C的离心率，长轴的左右端点分别为，。（1）求椭圆C的方程；（2）设直线与椭圆C交于P、Q两点，过P、Q两点分别作椭圆的切线交于点，试问：当变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，说明理由。解析：（1）由已知得，∴所求椭圆的方程为；（2）因为直线过椭圆的右焦点，所以当变化时，点恒在直线上。例5已知双曲线C的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为。（1）求双曲线C的方程；(2)设直线与椭圆C交于P、Q两点，过P、Q两点分别作椭圆的切线交于点，点的纵坐标为，求P、Q两点间的距离。解析：（1）易求曲线

5、的方程是。（2）因为直线过双曲线的左焦点，所以点的坐标为，。由得，，，。