哈工大第七版理论力学__动量矩定理课件.ppt

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1、DEPARTMENTOFENGINEERINGMECHANICSKUST第十二章动量矩定理TheoremofAngularMomentum动量矩定理刚体绕定轴的转动微分方程质点系相对于质心的动量矩定理刚体对轴的转动惯量刚体的平面运动微分方程本章介绍质点和质点系的动量矩动量矩定理揭示质点和质点系在力和力矩作用下相对于某一点的运动规律。几个有意义的实际问题谁最先到达顶点？视频谁最先到达顶点？视频如果没有尾浆，情况会怎样，为什么？视频为什么二者转动方向相反？视频航天器是怎样实现姿态控制的？视频视频mxzyOmvr与力对点之矩类似，质点的动量对于固定点O的矩定义为：MO

2、(mv)称为质点的动量矩。它是一定位矢量，垂直于r和mv构成的平面。§12-1质点和质点系的动量矩AngularMomentumofaParticleandaParticleSystem二、质点的动量矩动量对轴的矩是代数量。动量矩的单位：kg.m2/s从z轴正向看，逆时针为正，顺时针为负。动量矩的量纲：dimL=ML2T-1类似静力学空间力系中“力对点之矩与力对轴之矩的关系”动量矩矢在z轴上的投影，等于质点动量对通过矩心O的z轴之矩。即：质点系动量矩矢在通过O点的z轴上的投影等于各质点动量对同一轴之矩的代数和（称为质点系对z轴的动量矩）。与质点动量矩类似：在直角

3、坐标系下：二、质点系的动量矩质点系对固定点O的动量矩等于质点系各质点的动量对该点之矩的矢量和，即：zOω其中：mirixzyOrimiviMO(mivi)F一、质点的动量矩定理由质点的动量矩式：两端对时间t求导：MO(F)其中利用了:，和§12-2动量矩定理TheoremofAngularMomentummi具体应用时用投影式:上式写为：直角坐标系中质点对于定点O的动量矩对时间的一阶导数，等于作用在质点上外力对于同一点的力矩。质点的动量矩定理F1F２F３F1２F２１F２３F３２F１３F３１O１２３r1r2r3对于质点系：因为：及内力成对出现在质点系中，将作用在质

4、点上的分外力和内力，二、质点系的动量矩定理则据质点动量矩定理，对每个质点有：质点系对于定点O的动量矩对时间的一阶导数，等于作用在系统上所有外力对于同一点矩的矢量和。内力不能改变质点系的动量矩。故：这就是质点系的动量矩定理质点系的动量矩，应用时用投影式：直角坐标系中例12-1均质圆轮半径为R、质量为m。圆轮在重物带动下绕固定轴O转动，已知重物重量为W。求：重物下落的加速度。OW解：设圆轮的角速度和角加速度分别为和，重物的加速度为aP。圆轮对O轴的动量矩重物对O的轴动量矩系统对O的轴总动量矩aPOW系统对O的轴总动量矩应用动量矩定理其中aP=RaPOW

5、解得例12-2水轮机转轮,进口水的速度为,出口水的速度为,它们与切线的夹角分别为,,总体积流量。求：水流对转轮的转动力矩。设水密度为,有经dt时间，水由ABCD流到abcd，动量矩改变为：解：由动量矩定理如果外力系对于定点的主矩等于0，则质点系对这一点的动量矩守恒。如果外力系对于定轴之矩等于0，则质点系对这一轴的动量矩守恒。若三、动量矩守恒定律若小球A，B以细绳相连。质量皆为m，其余构件质量不计。忽略摩擦，系统绕z轴自由转动，初始时系统的角速度为ω0。当细绳拉断后，求各杆与铅垂线成θ角时系统的角速度ω。ω0zaallABωzaaθθllAB例12-3视频此系统所

6、受的重力和轴承的约束力对于转轴的矩都等于零，因此系统对于转轴的动量矩守恒。当θ=0时，动量矩当θ≠0时，动量矩因为Lz1=Lz2，得解:ω0zaallABωzaaθθllAB§12-3刚体绕定轴的转动微分方程zOωmiviriF1F2F3FiFN1定轴转动刚体如图，将外力分为主动力Fi和约束反力FNi。FN2设刚体对转轴z的转动惯量为Jz，角速度为ω，由动量矩定理：因FNi过z轴：故有：DifferentialEquationofRotationofaRigidBodyaboutaFixed-axis可写为下列的形式：定轴转动刚体运动微分方程当外力矩以一定时，J

7、z大，α小，反之亦然。表明刚体转动惯量的大小反映了刚体转动状态改变的难易程度，因此它是转动惯性的度量。若，动量矩守恒，刚体作匀速转动。卷扬机如图所示。设Ⅰ轴主动力偶矩为M，重物重W=mg，Ⅰ和Ⅱ轴连同齿轮和鼓轮对各自转轴的转动惯量分别为J1和J2，齿轮A和B的节圆半径分别为r1和r2，鼓轮半径为R，不计轴承摩擦和钢丝绳质量。MBAJ2J1WCMBAr1r2RCⅠⅡW例12-4求：重物的加速度。运动演示α1ω1ω2α2对轴Ⅰ组合，由刚体定轴转动微分方程：对鼓轮和重物W，由质点系对轴Ⅱ的动量矩定理（a）解:MBACJ2J1Wavω2ω1α1Mα2BAr1r2RCⅠⅡ

8、Wav（1）运动及受力分