高中数学 学案45直线与方程.doc

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1、第9章 解析几何学案45 直线与方程导学目标:1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式,了解斜截式与一次函数的关系.自主梳理1.直线的倾斜角与斜率(1)在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,把x轴所在的直线绕着交点按__________方向旋转到和直线重合时所转过的____________称为这条直线的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为______

2、____.(2)倾斜角的范围为________________.(3)倾斜角与斜率的关系:α≠90°时,k=________,倾斜角是90°的直线斜率________.(4)过两点的直线的斜率公式:经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=_____________________.2.直线方程的五种基本形式名称方程适用范围点斜式不含直线x=x0斜截式不含垂直于x轴的直线两点式不含直线x=x1(x1≠x2)和直线y=y1(y1≠y2)截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般

3、式平面直角坐标系内的直线都适用自我检测1.若A(-2,3),B(3,-2),C三点共线,则m的值为________.2.直线l与两条直线x-y-7=0,y=1分别交于P、Q两点,线段PQ的中点为(1,-1),则直线l的斜率为_______________________________________________________.3.下列四个命题中,假命题是________(填序号).①经过定点P(x0,y0)的直线不一定都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示;②经过两个不同的点P1(x1,y1)、P2(x

4、2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)来表示;③与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方程+=1表示;④经过点Q(0,b)的直线都可以表示为y=kx+b.4.如果A·C<0,且B·C<0,那么直线Ax+By+C=0不通过第________象限.5.已知直线l的方向向量与向量a=(1,2)垂直,且直线l过点A(1,1),则直线l的方程为______________.探究点一 倾斜角与斜率例1 已知两点A(-1,-5)、B(3,-2),直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半,求

5、l的斜率.变式迁移1 直线xsinα-y+1=0的倾斜角的变化范围是______________.探究点二 直线的方程例2 过点M(0,1)作直线,使它被两直线l1:x-3y+10=0,l2:2x+y-8=0所截得的线段恰好被M所平分,求此直线方程.变式迁移2 求适合下列条件的直线方程:(1)经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等;(2)经过点A(-1,-3),倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍.探究点三 直线方程的应用例3 过点P(2,1)的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点,求使:(1)△AOB面积最

6、小时l的方程;(2)PA·PB最小时l的方程.变式迁移3 为了绿化城市,拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图),另外△EFA内部有一文物保护区不能占用,经测量AB=100m,BC=80m,AE=30m,AF=20m,应如何设计才能使草坪面积最大?数形结合思想例 (14分)已知实数x,y满足y=x2-2x+2(-1≤x≤1).试求的最大值与最小值.【答题模板】解 由的几何意义可知,它表示经过定点P(-2,-3)与曲线段AB上任一点(x,y)的直线的斜率k,[4分]由图可知:kPA≤k≤kPB,由已知可得:A(

7、1,1),B(-1,5),∴≤k≤8,[10分]故的最大值为8,最小值为.[14分]【突破思维障碍】解决这类问题的关键是弄清楚所求代数式的几何意义,借助数形结合,将求最值问题转化为求斜率取值范围问题,简化了运算过程,收到事半功倍的效果.1.要正确理解倾斜角的定义,明确倾斜角的范围为0°≤α<180°,熟记斜率公式k=,该公式与两点顺序无关.已知两点坐标(x1≠x2),根据该公式可以求出经过两点的直线斜率,而x1=x2,y1≠y2时,直线斜率不存在,此时直线的倾斜角为90°.2.当直线没有斜率(x1=x2)或斜率为

8、0(y1=y2)时,不能用两点式=求直线方程,但都可以写成(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)的形式.直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都可以化成一般式,但是有些直线的一般式方程不能化成点斜式、斜截式、两点式或截距式.3.使用直线方程时,一定要注意限制条件以免解题过程中丢解,如点斜式的使用条件是直线必须有斜率,截距式的使用条件是截距存在且不为零,两

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