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《线性代数 第二章矩阵及其运算.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二章矩阵及其运算§1矩阵一、矩阵概念的引入二、矩阵的定义三、特殊的矩阵四、矩阵与线性变换B一、矩阵概念的引入例某航空公司在A、B、C、D四座AC城市之间开辟了若干航线，四座城市之间的航班图如图所示，箭头从始发地指向目的地.D城市间的航班图情况常用表格来表示:目的地ABCDA√√√始发地B√C√√√D其中√表示有航班ABCDA√√B√√C√√√D为了便于计算，把表中的√改成1，空白地方填上0，就得到一个数表：0110100111000010这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况.例某工厂生产
2、四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：a11a12a13a14其中aij表示工厂向第i家商店a21a22a23a24发送第j种货物的数量．a31a32a33a34这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：b11b12b21b22其中bi1表示第i种货物的单价，bbbi2表示第i种货物的单件重量．3132b41b42二、矩阵的定义由m×n个数aij(i=1,2,,m;j=1,2,,n)排成的m行n列的数表aaa11121na21a22a2nam1am2amn称为m行n列矩阵，简称m×n矩阵．
3、记作æa11a12a1nöç÷A=ça21a22a2n÷ç÷çam1÷èam1amnøæaaaöç11121n÷aaaA=ç21222n÷ç÷çam1am1÷èamnø简记为A=Am´n=(aij)m´n=(aij)这m×n个数称为矩阵A的元素，简称为元.元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵.行列式矩阵a11a12a1na21a22a2nan1an2ann=å(-1)t(p1p2pn)a1p1a2p2p1p2pnn行数等于列数n共有n2个元素det(aij)æa11a12a1nö
4、ça22÷ça21a2n÷ç÷çam1÷èam1amnøanpnn行数不等于列数n共有m×n个元素n本质上就是一个数表(aij)m´n三、特殊的矩阵1.行数与列数都等于n的矩阵，称为n阶方阵．可记作An.2.3.只有一行的矩阵A=(a,a,,a)称为行矩阵(或行向量).12næaöç1÷a只有一列的矩阵B=ç2÷称为列矩阵(或列向量).ç÷ç÷èanø元素全是零的矩阵称为零距阵．可记作O.例如：æ00öO2´2O1´4=(0000)=ç00÷èøæl10ç0l24.形如ççç00è00lnö÷÷
5、的方阵称为对角阵．记作÷÷A=diag(l,l,,lø12n)特别的，方阵æ10ç01ççç00è0ö÷÷÷÷ø10称为单位阵．记作En．同型矩阵与矩阵相等的概念1.两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵.例如æ1ç5çç3è2öæ143ö6÷ç84÷÷与÷ç7÷ç39÷øèø为同型矩阵.2.两个矩阵A=(a)与B=(b)为同型矩阵，并且对应元ijij素相等，即aij=bij(i=1,2,,m;j=1,2,,n)则称矩阵A与B相等，记作A=B.æ000ç000例如çç000ç
6、000è0ö0÷÷0÷÷0ø¹(0000).注意：不同型的零矩阵是不相等的.四、矩阵与线性变换n个变量关系式x,x,,xn与m个变量y,y,,1212ìy=ax+ax2++axn,ï1111121ny=ax+ax++ax,ï2212222nn1íïïym=am1x+am2x2++amnxn.î1ym之间的表示一个从变量其中aij为常数.x,x2,1,xn到变量y1,y2,,ym线性变换，ìy=ax+ax2++axn,ï1111121ny=ax+ax++ax,ï2212222
7、nn1íïïym=am1x+am2x2++amnxn.î1æaaaöç11121n÷aaaA=21222n÷ç系数矩阵ç÷çam1am1÷èamnø线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.ìy1=x1,ï=x2,例线性变换ïy2称为恒等变换.íïï=xnîynìy=x,ìy=1×x+0×x2++0×xn,ï11ï11y=x,y=0×x+1×x++0×x,ï22ï22n=1ííïïïyn=xnïyn=0×x+0×x2++1×xnîî1æ100ö对应ç010÷单位阵Enç÷ç÷ç001÷èø例2阶方阵对应æ
8、10öìx1=x,ç00÷í=0.èøîy1例2阶方阵对应æcosj-sinjöçcosj÷èsinjøy投影变换P(x,y)P(x,y)1110xìx=cosjx-sinjy,í1y=sinjx+cosjy.î1yP(x,y)111以原点为中心逆时针旋转j角的旋转变换j0qP(x,y)x§2矩阵的运算例某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店发送货物的数量可用数表表示：a11a12a13a14其中aij表示上半年工厂向第i家a21a22
